통합 $2$-입체 투영을 사용하여 구체에 형성
허락하다 $\omega$ 될 $2$ 형태 $\omega = x \, dy \wedge dz - y \, dx \wedge dz + z \, dx \wedge dy$ 의 위에 $S^2$. 나는 통합하고 싶다$\int_{S^2} \omega$ 입체 투영과 함께 정의 사용 ${\varphi}^{- 1} : {\mathbb{R}}^2 \to S^2 \setminus \{(0 , 0 , 1)\}$ 주어진 $$ {\varphi}^{- 1}(u , v) = \left(x = \frac{2 u}{1 + u^2 + v^2} , y = \frac{2 v}{1 + u^2 + v^2} , z = \frac{u^2 + v^2 - 1}{1 + u^2 + v^2}\right). $$ 그때 $$ \int_{S^2} \omega = \int_{{\mathbb{R}}^2} {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega). $$ 나는 계산을 진행한다 ${({\varphi}^{- 1})}^*(\omega)$. 그것은$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) + z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy). $$ 예를 들어 $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) = \frac{\partial x}{\partial u} \, du + \frac{\partial x}{\partial v} \, dv = \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ 유사하게 $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ 과 $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = 4 \left(\frac{u}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv\right). $$ 이제 외부 제품을 계산합니다. $$ x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - 4 \frac{{(u^2 + v^2)}^2 - 2 (u^2 + v^2) + 1}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv. $$ 따라서 $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = \frac{4}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} (- 2 u^2 - 2 v^2 - 1 - u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) \, du \wedge dv $$내가 실수하지 않았다면. 하지만이 표현을 어떻게 진행할 수 있습니까? 반면에 적분은$4 \pi$.
답변
지금까지의 결과는 실제로 모두 정확합니다. 계속하려면 모든 표현을 확장하는 데 조금 덜 열망하지만 더 많은 인수를 선택하면됩니다. 특히$(\phi^{-1})^* (z\, dx\wedge dy)$인수 분해 될 수 있습니다. 분자는 실제로$4(u^2+v^2-1)^2$. 다른 두 용어의 풀백을 더하면$16(u^2+v^2)$분자에. 따라서 당신은$4(u^2+v^2+1)^2$, 분모와 함께 깔끔하게 취소됩니다.
또는 확장에 충분히 익숙하다면 $(x+y+z)^2$, 최종 결과의 분자가 $4(u^2+v^2+1)^2$.
적분을 진행하기 위해 적분을 극좌표로 변환 할 수 있습니다. $uv$-비행기 또는 삼각대 대체로 수행하십시오. 전자의 방법은 훨씬 쉽습니다.