토폴로지 공간의 상대적 압축성 (참조 요청)
동기 및 맥락 : 하위 집합$S$ 미터 공간의 $(M,d)$에서 다음은 Analysis에서 매우 고전적인 두 가지 압축 결과입니다.
1a) 세트$S$ 각 시퀀스의 경우에만 압축됩니다. $S$ 한 지점으로 수렴하는 하위 시퀀스가 있습니다. $S$.
1b) 세트$S$ 상대적으로 콤팩트합니다 $M$ 각 시퀀스가 $S$ 한 지점으로 수렴하는 하위 시퀀스가 있습니다. $M$.
이제 하위 집합에 대한 다음과 유사한 주장을 고려하십시오. $S$ 위상 공간의 $X$:
2a) 세트$S$ 각 네트가 $S$ 한 지점으로 수렴하는 서브넷이 있습니다. $S$.
2b) 세트$S$ 비교적 컴팩트하다 $X$ 각 네트가 $S$ 한 지점으로 수렴하는 서브넷이 있습니다. $X$.
어설 션 2a)는 또한 포인트 세트 토폴로지의 고전적인 결과입니다. 반면에 의미 "$\Leftarrow$"2b)는 일반적으로 유지 되지 않습니다 .
보다 정확하게는 다음이 유지됩니다.
(i) 만약$X$ Hausdorff가 아닙니다. $S$콤팩트하지만 닫히지 않고 비 압축 클로저도 있습니다. 이것은 일반적으로 2b)가 실패했음을 보여줍니다.
(ii) 좀 더 흥미롭게도 2b) Hausdorff 공간에서도 실패 할 수 있습니다. 사실, 우리가 선택하면 반례를 만들 수 있습니다.$S$위쪽 절반 평면의 절반 디스크 토폴로지 에서 하나의 추가 지점이있는 열린 절반 디스크 여야합니다 . 이 토폴로지는 예를 들어 Steen과 Seebach의 " Counterexamples in Topology (1978)" 의 Example 78에 설명되어 있습니다. (이 공간이 2b에 대한 반례를 산출한다고 명시 적으로 명시되어 있지는 않지만보기 어렵지 않습니다.)
(iii) 만약$X$ Hausdorff 및 토폴로지 $X$균일 한 구조 에 의해 유도됩니다 (동일하게$X$이다 완전히 일반 ), 다음 2B)가 실제로 보유 않습니다.
주장 (iii)은 보여주기가 극도로 어렵지는 않지만 완전히 분명하지는 않습니다. 또한 (iii)은 때때로 연산자 이론에서 매우 유용합니다. 따라서 인용을 위해 다음과 같은 질문이 발생합니다.
질문 (참조 요청) : (iii)이 명시 적으로 언급되고 입증 된 참조를 알고 있습니까?
관련 질문 : 이 질문 은 다소 관련이 있습니다.
답변
Eric Schechter 의 Handbook of Analysis and its Foundations (17.15 절)를 참조하십시오.
내 생각 엔 $T_3$이미 충분합니다. 지금은 모노 그래프 Fletcher, Peter and Lindgren, William F., Quasi-uniform spaces, M. Dekker, New York, Basel 1982에 대한 접근 권한이 없지만 여기에는 완성 및 준 압축성에 대한 결과가 상당히 포함되어 있습니다. 아마도 그것은 상대적인 콤팩트 함과의 관계에 대한 결과를 포함하고있을 것입니다.