운동 에너지 및 곡률

Question

양자 역학에서 파동 함수로 표현되는 입자의 운동 에너지 $\psi$, 곡률과 관련이 있습니다. $\psi$. 이것은 쉽게 볼 수 있지만 내 자신을 음수 부호와 혼동했습니다. 그건:$\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$는 운동 에너지 연산자입니다. 그래서 제가 모은 것은 곡률이 클수록$\psi$, 마이너스 기호로 인해 운동 에너지가 낮아집니다. 나는 이것이 옳지 않다는 것을 안다.

Answer 1

'곡률'이 의미하는 바는 종종 음수입니다. 사인파를$\psi(x)=A\sin kx$. 크게$k$더 큰 곡률을 의미합니다. 1D 운동 에너지 연산자를 사용하면\begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x)&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(-k^2 A\sin kx \right)\\ &=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\psi(x) \end{align} 그래서 당신의 직감은 여전히 ​​옳습니다 : 더 큰 곡률은 더 큰 운동 에너지를 의미합니다.

편집 : 곡률에 대한 정의를 조금 더 확장합니다. 곡률을 정의하는 방법은 여러 가지가 있지만 자연스러운 방법은 곡선을 매개 변수화하는 것입니다.$\mathbf{r}(s)$ 경로 길이 측면에서 2 차 도함수를 고려하십시오. $\mathbf {r}''(s)$. 또한보십시오https://en.wikipedia.org/wiki/Curvature. 함수의 경우 부호있는 곡률은 다음과 같습니다.$$\kappa_{\text{signed}}=\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^2)^{3/2}}$$어떤 곡선에도 작동하는이 일반화 된 곡률을 고려하고 싶지 않습니다. 우리는 이차 미분만을보고 싶습니다. 그러나 우리는 여전히이 표시 규칙을 채택 할 수 있습니다. 이것은 준다$$\kappa_{\text{signed}}=f''(x)$$기능이 위로 오목하면 (행복한 웃는) 양수이고 기능이 아래로 오목한 경우 (슬픈 웃는) 음입니다. 슈뢰딩거 방정식에서 우리는 당신이 언급 한 것처럼 2 차 도함수에 대한 다음 방정식을 가지고 있습니다.$$\psi''(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}(E-V)\psi(x)$$ 때문에 $\psi$ 양쪽에서 상수를 나타냅니다. $E-V$함수가 x 축 방향으로 구부러 지는지 아니면 멀어지는 지에 대해 알려줍니다. 다음 그림을 확신하십시오.

에서 $E>V$우리는 고전적으로 허용 된 지역이 있습니다. 여기서 솔루션은 사인파처럼 보입니다. 지역$E<V$고전적으로 금지 된 지역입니다. 여기서 솔루션은 지수처럼 보이지만 실제로 상태를 정규화 할 수 있어야하므로 상태가 0으로 감소해야합니다.

Answer 2

"곡률"은 파동 함수 의 로컬 속성 이지만 표준 QM에는 "운동 에너지의 로컬 값"이라는 개념이 없습니다 (예 : this 참조 ).

운동 에너지는 다음의 고유 값 중 하나입니다. $T=p\cdot p$ 연산자 (요인 무시 $1/2$ 및 설정 $\hbar=m=1$). 빼기 기호를 이해하려면$T=-\nabla^2$, 운동량 연산자의 고유 상태 집합을 사용할 수 있습니다. $p$ (즉, 평면파는 $T$). AccidentalTaylorExpansion 의 추론 을 따르면 운동 에너지 고유 값의 양성을 보장하기 위해 마이너스가 필요하다는 것을 알게됩니다.

$$ T e^{i k\cdot x} = -\nabla^2 e^{i k\cdot x} = |k|^2 e^{i k\cdot x} \, , $$

그래서 당신은 일반 고유 값의 $T$즉 $|k|^2$, 긍정적입니다.

이제 더 일반적인 경우를 고려하십시오. $\psi$ 평면 쇠퇴가 아닙니다. 즉, 고유 상태가 아닙니다. $T$. 이 경우, 당신이 할 수있는 유일한 것은 평균 운동 에너지를 찾는 것입니다$\langle T \rangle$ 그런 상태에서 $\psi$ 통하다

$$ \langle T \rangle = \int d^3x \, \psi^*(x) T \psi(x) = -\int d^3x \, \psi^*(x) \nabla^2 \psi(x) $$

"부분 별"통합을 수행 할 수 있습니다. $\psi\rightarrow0$ 공간 무한대에서 $\langle T \rangle $ 항상 긍정적입니다.

$$ \langle T \rangle = -\int d^3x \, \psi^*(x) \nabla^2 \psi(x) =\int d^3x \, \nabla\psi^*(x)\cdot \nabla \psi(x) =\int d^3x \, |\nabla \psi(x)|^2 >0 $$

또한 운동 에너지가 $T = p\cdot p$ 그리고 그 $p =- i \nabla$, 그래서 (적어도 공식적으로) $T$ 마이너스 기호가 있어야합니다.