왜 $i\epsilon$-Klein-Gordon 전파자에 처방이 필요한가요?
Klein-Gordon 전파자를 평가할 때 P & S 의 책 , p. 31, 나는 극을 이동하고 추가하는 것이 일반적이라는 것을 알았습니다.$i\epsilon$분모에서. 왜 이것이 필요한지 이해할 수 없습니다. 왜 복잡한 분석을 사용할 수 없습니까? 다음 단계에서 무엇이 잘못 되었습니까?
\begin{align} \int \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\, dz &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} (z-a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2} + \lim_{z\rightarrow -a} (z+a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\right] [\mathrm{Residue~theorem}]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} \frac{e^{ibz}}{z+a} + \lim_{z\rightarrow -a} \frac{e^{ibz}}{z-a}\right]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[ \frac{e^{iba}}{2\,a} - \frac{e^{-iba}}{2\,a}\right]\nonumber\\ % &= \frac{i\pi}{a} \left[ e^{iba} - e^{-iba}\right]\nonumber\\ % &= - \frac{2\, \pi\, \sin{ba}}{a} \end{align}
이런 식으로 진행하는 데 무엇이 잘못 되었습니까? 그냥 통합하면 안 돼$p^0$ 에 대해 완료 $z$-변하기 쉬운? 명백하게,$a$ 의 기능이 될 것입니다 $\vec{p}$ 과 $m$.
답변
계산하려는 원래 적분 은 닫힌 윤곽선이 아니라 실제 선 위에 있으므로 윤곽선을 닫는 적절한 방법을 찾을 때까지 코시 정리가 적용되지 않습니다. 지수 요인의 존재로 인해$e^{ibz}$, 당신이 작성했듯이, 다음과 같은 경우 상단 절반 평면에서 윤곽을 닫을 수 있습니다. $\mathrm{Re}\, b>0$. 그것이 사실이라고 가정 해 봅시다. 이제 두 극이 실제로 실제 선에 있으므로이를 통과 할 방법도 지정해야합니다. 위의 윤곽을 닫고 잔류 물을 모두 집어 들기 때문에이 두 극 아래를 통과하고 있음을 의미합니다. 그 이상을 통과하면 윤곽선 밖에 있고 기여하지 않을 것입니다. 당신이 당신의 두 극 아래를 지나가고 있기 때문에, 우리는 두 극이 무한한 양만큼 복잡한 평면에서 위쪽으로 이동한다고 말함으로써 당신이 한 일을 동등하게 설명 할 수 있습니다.$+i\epsilon$. 이렇게하면 실제 축을 따라 통합 할 때 아래를 통과 할 수 있습니다. 당신이 볼 그래서 당신은 또한 실제로 일부를 포함했다$\epsilon$당신이 그것을 인정하지는 않았지만 당신의 계산에서도 s.
QFT의 계산을 위해, 극을 돌아 다니는 방법에 대한 올바른 물리적 처방이 있습니다. 이것은 Feynman 처방이라고하며 위에서 한 것과 다릅니다. 이것은 P & S에서 잘 다룹니다.