왜 ${\rm Ult}(V,{\cal U})\vDash|[id]_{\cal U}|<j_{\cal U}(\kappa)$, 언제 $\cal U$ 이다 $\delta$-완전한 미세 한외 필터 $\cal P_\kappa(\alpha)$?

Question

다음 주장은 정리 4.7의 증명에 나타납니다. Bagaria-Magidor의 논문 그룹 급진파와 강력하게 압축 된 추기경에서 .

허락하다 $\delta<\kappa$ 셀 수없는 추기경이 될 수 있습니다. $\alpha$ 서 수가되어 $\alpha\geq\kappa$. 존재한다고 가정하십시오$\delta$-완전한 정밀 측정 $\mathcal{U}$ 의 위에 $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)$, 그것은 $\delta$-완전한 한외 여과기 $\mathcal{U}$ 의 위에 $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)=\{x\subseteq\alpha:|x|<\kappa\}$ 그런 $\{x\in\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha):a\in x\}\in\mathcal{U}$ 모든 $a\in\alpha$. 허락하다$j_{\mathcal{U}}:V\longrightarrow Ult(V,\mathcal{U})$해당하는 초 전력 임베딩입니다. 이후$\mathcal{U}$ 이다 $\delta$-완료, 다음 $Ult(V,\mathcal{U})$근거가 충분합니다. 또한$\delta$-완전성, 핵심 포인트 $j_{\mathcal{U}}$ 보다 크거나 같음 $\delta$. 이제 내 질문 :

왜 $Ult(V,\mathcal{U})\vDash|[id]_{\mathcal{U}}|<j_{\mathcal{U}}(\kappa)$?

미리 감사드립니다.

( 존재한다면 ultrapowers 라는 태그를 추가 했을 것입니다.하지만 그렇지 않았고 그것을 만들 명성이 없습니다).

Answer 1

기억 $j_{\mathcal U}(\kappa)$ 상수 함수의 초능력에서 등가 클래스 (전 이적 붕괴 아래의 이미지) $c$ 가치있는 $\kappa$. 그래서 Los의 정리에 의해 증명되어야 할 것은$|id_{\mathcal U}(a)|<c(a)$ ...에 대한 $\mathcal U$-거의 모든 $a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$. 그건,$|a|<\kappa$ 거의 모두 $a$. 하지만이 불평등은 사실 모두에게 사실입니다$a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$, 정의에 따라 $\mathcal P_\kappa(\alpha)$.