왜 우리가 연속체 가설을 강요 할 수 있다는 사실이 연속체 가설을 증명하지 못하는 것일까 요?
저는 Nick Weaver의 Forcing for Mathematicians를 읽고 있으며 12 장 ( "Forcing CH")에서 다음과 같이 시작합니다 (45-46 페이지).
(여기에있는 모든 것은 $M$ -그의 책에서 ZFC의 모델).
허락하다 $P_1$ 모든 부분 함수의 집합 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ ...에 $\aleph_1$ (강제적 인 개념입니다) $G$ 일반적인 이상이되다 $P_1$. 의 요소 이후$G$ 일관되어야하는 함수입니다 (이후 $G$ 이상적인 것) 함수를 구성하기 위해 이들의 결합을 취할 수 있습니다. $\tilde{f}$ 의 하위 집합에서 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 하위 집합에 $\aleph_1$.
그런 다음 그는 다음을 증명합니다.
- $\tilde{f}$ (단순한 함수가 아닌) $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 하위 집합에 $\aleph_1$ 일관된 bijection을 함께 패치하면 bijection이 제공되기 때문입니다.
- 도메인 $\tilde{f}$ 모두 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 이후 $G$ 일반적입니다.
- 범위 $\tilde{f}$ 모두 $\aleph_1$ 이후 $G$ 일반적입니다.
그러므로 내가 말할 수있는 한, 어떤 모델이든 $M$ ZFC (즉, ZFC가 보유하는 모든 세트)의 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ ...에 $\aleph_1$ 따라서 연속체 가설은 사실입니다.
나는 그가 계속 이야기하는 것을 안다. $M[G]$ 하지만 내가 말할 수있는 한 $M[G]$ ZFC의 또 다른 모델이며 우리가 선택한 세트 일 수 있습니다. $M$.
답변
그러나 bijection $\widetilde f$ 에 없다 $M$, 그게 요점입니다. 그것은$M[G]$. 당신이 보여준 것은 단지 모든 모델의$\sf ZFC$, 더 큰 모델이 있습니다. $\sf CH$ 사실이다.
실제로 그것을 보려면 $\widetilde f\notin M$, 주어진 모든 기능에 유의하십시오.$g\colon \mathcal P(\Bbb N)\to\omega_1$, 조밀 한 조건 세트가 있습니다. $p$ 그런 $p\nsubseteq g$. 따라서 일반적으로$\widetilde f\neq g$. 만약$\widetilde f$ 의 어떤 기능과도 같지 않습니다. $M$, 다음 안에있을 수 없습니다. $M$.
(이것은 더 광범위하게는 강제력이 사소하지 않을 때마다지면 모델에 일반 필터가없는 이유입니다.)
여기서 핵심은 $G$ 일반적이어야합니다. $M$, 결과적으로 $G \not\in M$.
아시다시피 ZFC 모델을 만들 수 있다면 $G$ 그리고 어느 것에 동의합니다 $M$ 무엇에 대해 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 과 $\aleph_1$그런 다음 해당 모델에서 CH가 유지됩니다. 강제력은 그러한 모델을 구축하는 방법을 알려주므로 주어진 모델이$M$CH가있는 모델을 만들 수 있습니다. 이것은 ZFC + CH의 상대적 일관성을 보여 주지만 CH를 증명하지는 않습니다.
기존 답변에 몇 가지 요점을 추가하겠습니다.
첫째, 기존 답변에서 언급되지 않은 핵심 사항이 있습니다 . 제네릭이 항상 존재하는 것은 아니라는 점에 유의하는 것이 중요 합니다 . 우리는$M$이다 셀 수 . 그래서 진술
마다 $M\models\mathsf{ZFC}$ 일부의 하위 모델입니다 $N\models\mathsf{ZFC+CH}$
사실이 아닙니다. 셀 수있는 것으로 제한해야합니다. $M$에스. 실제로$\mathsf{CH}$ 실제로는 거짓이고 일부는 $M$ 만족스러운 끝 확장없이 $\mathsf{CH}$: 즉, 모든 실제를 포함하는 모든 모델.
몇 가지 측면 의견 :
"모든 셀 수 있음 $M\models\mathsf{ZFC}$ 일부 셀 수있는 하위 모델입니다 $N\models\mathsf{ZFC+CH}$" 은 사실입니다. 우리는 이러한 셀 수있는 모델이 근거를 충분히 확보 할 필요가 없습니다! 이것은 분명하지 않지만 보여주기가 어렵지 않으며"모든 재귀를 내부적으로 실행 "하는 좋은 연습입니다.
우리는 할 수 있습니다 참으로 임의의 모델의 확장을 강제 이야기 (그리고$V$강제에 대한 부울 값 모델 접근 방식을 통해 . 예를 들어 이것은 Jech에서 취한 접근 방식입니다. 그러나 매력적이고 중요하지만 내 생각에는 포 제트 접근 방식보다 훨씬 직관적이지 않습니다.
둘째, 교육적 가치에 대한 예를 들어 보겠습니다. $G\not\in M$ 더 명백하게, 즉 레비 붕괴 $Col(\omega,\omega_1)$.
$Col(\omega,\omega_1)$ 만들기위한 가장 간단한 강제입니다. $\omega_1$ 계산 가능 : 유한 부분 함수로 구성됨 $\omega\rightarrow\omega_1$, 예상대로 역 확장으로 정렬됩니다. 각각 이후$\alpha\in\omega_1$ 세트 $\{p: \alpha\in ran(p)\}$ 밀도가 높고 일반적인 $G$ (또는 오히려 그러한 조건의 조합 $G$)는 $\omega$ ...에 $\omega_1$.
보다 정확하게, 단순성을 위해 셀 수있는 전이 모델로 제한하면 다음과 같은 이점이 있습니다.
만약 $M$ 셀 수있는 전이 모델입니다. $\mathsf{ZFC}$ 과 $G$ 이다 $Col(\omega,\omega_1^M)$-일반 이상 $M$ 그때 $M[G]\models\omega\equiv\omega_1^M$.
그러나 달리 $\mathsf{CH}$, 우리가 "동일한 모델"현상을 가질 수 없다는 것은 명백합니다. $M\models\mathsf{ZFC}$ 그런 $M\models \omega\equiv\omega_1^M$. 따라서이 예를 먼저 고려하면 강제력 이 일반적으로 진실을 암시 할 수없는 이유를 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다 .
마지막으로 긍정적 인 말로 마무리하겠습니다. 위에도 불구하고, 거기에 있는 문장의 "forceability는"그 명백한 진실을 의미 할 때 약간의 시간 :
Shoenfield의 절대성 정리 는$\Pi^1_2$ 문장은 강제로 변경할 수 없습니다. $G$ 일반적이다 $M$ 과 $M[G]\models\varphi$ 와 $\varphi\in\Pi^1_2$ 그때 $M\models\varphi$그 반대의 경우도 마찬가지입니다 (실제로 Shoenfield는 이것보다 다소 더 많이 말하지만 meh). 그러나이 현상은 일반적으로 드뭅니다.
특수 모델의 경우 $\mathsf{ZFC}$더 강력한 절대성 결과를 얻을 수 있습니다. 특히, 강하고 큰 추기경 공리는 더 많은 절대성을 의미합니다 (예 : 내가 올바르게 기억한다면$M\models\mathsf{ZFC}$ + "우딘 추기경은 무한히 많다"그러면 모든 투영 문장은 $M$ 및 일반 확장).
그러나 일반적으로 절대성은 매우 드물며 당연한 것으로 간주해서는 안됩니다.