Wigner 기능의 시간 진화
Wigner 기능은 다음과 같이 정의됩니다. $$W(x,p,t)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int dy \rho(x+y/2, x-y/2, t)e^{-ipy/\hbar}\tag{1}$$ 어디 $\rho(x, y, t)=\langle x|\hat{\rho}|y\rangle$. 나는 다음과 같은 von Neumann 진화 방정식에서 시작하여 Harmonic Oscillator에 대한 Wigner 함수의 시간 진화를 찾아야합니다.$$i\hbar\frac{\partial \rho}{\partial t}=\left[H,\rho\right].\tag{2}$$폰 노이만 진화 방정식은 해밀턴의 정류자와 관심있는 연산자를 포함하기 때문에 시작하는 방법을 잘 모르겠습니다. 그러나 Wigner 함수는 함수입니다. 정류자를 어떻게 평가할 수 있습니까?
답변
폰 노이만 방정식에서 시작 : $$i\hbar\partial \hat{\rho} / \partial t=[\hat{H}, \hat{\rho}]$$ 이제 Weyl Transform을 양쪽에서 취하고 편미분이 변환과 함께 정류하고 정류자가 Moyal 브래킷에 매핑된다는 점에 주목합니다. $$i\hbar\partial \tilde{\rho} / \partial t=-2i\tilde{H} sin(\hbar \Lambda/2) \tilde{\rho}$$ 물결표는 연산자의 Weyl 변환을 의미하며 $\Lambda = \frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}$첫 번째 편미분은 왼쪽으로, 두 번째는 오른쪽으로 작용합니다. 이제 고조파 발진기의 Hamiltonian의 Weyl 변환은 다음과 같이 표시 될 수 있습니다.$\tilde{H}=p^2/2m+m\omega^2x^2$ 이제 Taylor 시리즈에서 사인 함수를 확장하면 다음을 얻을 수 있습니다. $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$ 이제 우리는 합계의 첫 번째 항을 별도로 표현하고 다음을 얻습니다. $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\left(\frac{\hbar}{2}\right)\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$
이제 합계의 첫 번째 항을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-i\hbar\left((p/m\frac{\partial}{\partial x} - 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}+\tilde{H}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$
왼쪽의 항과 합계 외부의 오른쪽에있는 처음 두 항은 정확히 리오 빌의 방정식과 유사합니다. 고조파 발진기 Hamiltonian이 2 차이므로$x$ 과 $p$ 고차 조건이 없어 고차 조건이 사라지고 다음과 같은 조건이 남습니다.
$$\partial \tilde{\rho}+(p/m\frac{\partial}{\partial x} + 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}=0$$