양의 정수의 역수 합의 수렴 / 발산에 대한 질문
가장 일반적으로 알려진 수렴 테스트를 연구 한 결과 어떤 경우에는 이러한 테스트가 결정적이지 않다는 것을 발견했습니다 (예 : $r=1$, 시리즈가 조건부 수렴 일 때 비교 테스트 등)이므로 양의 정수의 역수 합계를 포함하는 시리즈에 대해 가능한 수렴 테스트를 고려해 왔습니다.
이 테스트의 합리적 이유는 다음과 같습니다. 어떻게 든 주어진 양의 정수 하위 집합의 밀도를 부분 합계를 통해 평가하고 비교할 수 있습니다. 예를 들어, 일련의$n$ 다음과 같은 양의 정수 $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ 세트보다 더 밀도 $n$ 다음과 같은 양의 정수 $\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
가장 잘 알려진 양의 정수의 역수 중 일부를 살펴보면 정확하게 알 수 있습니다. $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ 는 다음에서 시작하는 연속 된 양의 정수의 합이기 때문에 양의 정수의 가장 조밀 한 부분 집합에 해당하는 부분 합입니다. $1$. 합이 알려져 있고 쉽게 증명할 수 있습니다.$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_{k}}$ 근접한 속도로 발산 $\ln(n)$. 다른 알려진 발산 시퀀스 (소수의 역수의 합)는 근접한 비율로 발산합니다.$\ln\ln(n)$, 연속 소수의 부분 합은 거의 $\sum_{k=1}^{n}p_k=\frac{1}{2}n^2\ln(n)$. 그러나 이미 언급 된 부분 합계$\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ 삼각수 세트에 해당하며 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{b_{k}}=2$.
명시된 가능한 수렴 테스트는 일부 기능의 존재에 의존합니다. $F(n)$, 경계 $\frac{1}{2}n^2\ln(n)<F(n)<\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, 양의 정수의 모든 무한 하위 집합에 대해 $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ 그런 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, 그러면 우리는 $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; 그리고 만약$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, 그러면 우리는 $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$.
따라서 테스트는 시퀀스의 분모 합계를 기반으로하며 다음 형식을 갖습니다.
(가능) 컨버전스 테스트
양의 정수의 무한 하위 집합이 주어짐 $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ 그런 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, 그러면 우리는 $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; 그리고 만약$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, 그러면 우리는 $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$
이제 문제는 이러한 기능의 존재가 가능합니까? $F(n)$? 여기에서 증명 된 사실과 양립 할 수 있습니까?https://math.stackexchange.com/questions/452053/is-there-a-slowest-rate-of-divergence-of-a-series#:%7E:text=Talking%20about%20getting%20closer%20to,%22the%20slowest%20diverging%20series%22?
나는 그러한 함수의 존재가 가능하며 다음과 같은 양의 정수의 부분 합이 존재하지 않으면 호환 될 것이라고 믿습니다. $F(n)$. 예를 들어, 가상으로$F(n)=n^e$, 수렴 / 발산 비율이 다음과 같은 양의 정수 세트가 존재하지 않습니다. $0$.
1)의 존재 여부를 증명하는 방법에 대한 의견 / 추측 $F(n)$, 및 2) 근사 $F(n)$ 환영합니다!
답변
불행히도 빠르게 성장하는 기능조차 $F(n)$ 확신하지 못한다 $1/a_n\to 0$. 예를 들어,$a_{2k}=k!$ 과 $a_{2k+1}=1$ 각 자연에 대해 $k$. 우리가 그것을 요구할 때도$\{a_n\}$ 감소하지 않음, 빠른 성장은 시리즈의 수렴을 보장하지 못할 수 있습니다. $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$. 예를 들어, 각 매우 빠르게 증가하는 기능에 대해$g:\Bbb N\to\Bbb N$ 순서를 보자 $\{a_n\}$ 연속 된 숫자 블록으로 구성 $g(k)$ 길이 $g(k)$. 그런 다음 시퀀스$\{1/a_n\}$ 발산하지만 시퀀스 $\{\sum_{i=1}^{n} a_i\}$ 큰 도약 $g(k+1)$ 각마다 $n(k)=1+\sum_{i=1}^k g(i)^2$.
반면에 산술과 조화 평균 사이의 불평등은 다음을 의미합니다. $$\sum_{i=1}^n \frac 1{a_i}\ge \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n a_i},$$ 따라서이 부등식의 우변이 제한되지 않으면 시리즈는 $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$ 갈라진다.