양수 및 양의 반 정호 행렬

Question

허락하다 $H_n$ 될 $(n+1)\times (n+1)$ 실수 대칭 행렬, $D_0,D_1,\dots, D_n$ 주요 미성년자 $H_n$.

내가 아는 것은 :

1. 만약 $H_n$ 양의 정호 (각각 양의 반정의)이면 $D_n> 0$ (각각. $D_n\geq 0$).
2. 만약 $D_k>0$ 모든 $0\leq k\leq n$, 다음 $H_n$양의 정부 호 ( 실베스터 기준에 의함 ).

내가 알고 싶은 것은 $H_n$ 양의 반 정확한,

$\quad$Q1. 만약$D_n>0$, 다음 $H_n$ 양수입니다.

$\quad$Q2. 만약$H_n$ 양의 부정확하지 않으면 $D_n=0$.

Q1 : 귀납법에 의해 이루어 졌다고 생각합니다. $n$. 에 대한$n=0$: 만약 $D_0>0$, 다음 $H_0$두 번째 점으로 양의 정의입니다. 에 대한$n=1$: 만약 $D_1>0$, 어떻게 알았어 $D_0\neq 0$, 두 번째 점을 다시 사용할 수 있도록?

2 분기 : 우리는 $H_n$ 가정에 의해 양의 반 정확하므로 $D_n\geq 0$첫 번째 포인트로. 하지만 이후$H_n$ 양의 반 정확하지 않습니다, 우리는 가질 수 없습니다 $D_n>0$, 그래서 $D_n=0$. 그게 다야?

Answer 1

양의 반 정호 행렬은 가역적 (0이 아닌 행렬식이있는 경우) 인 경우에만 양의 정부 호입니다.

이것은 일반적으로 다음의 결과로 간주됩니다. 대칭 행렬은 고유 값이 실수 인 경우에만 양의 정의이고 고유 값이 음이 아닌 경우에만 양의 반정의입니다. 거기에서 행렬의 행렬식은 고유 값의 곱이라는 것을 알 수 있습니다.

보다 직접적인 증명을 위해 (대칭) 양의 반정의 행렬의 경우 $H$, 우리는 $x^THx = 0 \iff Hx = 0$. 여기 내 게시물에서 몇 가지 다른 방법으로 이것을 증명합니다. 거기에서 행렬은 널 스페이스 (AKA 커널)가 사소하지 않은 경우에만 0 행렬식을가집니다.