"역" $N$-신체 문제 [닫힘]

Question

잘 알려진 $N$-고전 역학의 신체 문제 : 주어진 초기 위치와 속도 $N$ 어떤 공간에있는 입자는 일정 시간 간격 동안의 역학을 설명합니다.

어떤 형태의 "역"문제에 관심이 있습니다. $(N+1)$어떤 공간에있는 입자. 우리는$N$일정 시간 간격 동안 이러한 입자의 문제는 궤적을 복원하는 것입니다.$(N+1)$-같은 시간 간격 동안의 입자.

기본 힘 필드는 알려진 것으로 가정합니다. 예를 들어, 각 입자 쌍이 역 제곱 법칙에 따라 끌린다 고 가정 할 수 있습니다.

이 문제에 대해 일반적으로 허용되는 올바른 이름은 무엇입니까? 이 문제가 문헌에 설명되어 있습니까?

Answer 1

시스템이 격리 된 경우이 시스템의 질량 중심은 일정한 (일반적으로 0) 속도로 이동합니다. $\mathbf{v}_c$: $$ \sum_{i=1}^{N+1}m_i\mathbf{r}_i(t)=M \mathbf{r}_c(t)=M(\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_c t) $$ 만약 $\mathbf{r}_i(t)$ 모두에게 알려져있다 $i=1,\ldots,N$, 다음 $\mathbf{r}_{N+1}(t)$다음 방정식에서 구할 수 있습니다. \ begin {equation} \ tag {1} \ mathbf {r} _ {N + 1} (t) = \ frac {1} {m_ {N + 1}} \ left (M ( \ mathbf {r} _0 + \ mathbf {v} _c t)-\ sum_ {i = 1} ^ {N} m_i \ mathbf {r} _i (t) \ right) \ end {equation} 이 방정식에는 2 개의 알 수없는 매개 변수가 있습니다. : 질량 중심의 초기 위치$\mathbf{r}_0$ 그리고 속도 $\mathbf{v}_c$. 이러한 매개 변수는 (아마도) 움직임의 방정식이 유지되도록 요구함으로써 얻을 수 있습니다 (상호 작용의 법칙이 알려져 있기 때문에).

최신 정보:

얻기 위해 $\mathbf{r}_0$ 과 $\mathbf{v}_c$ 운동 방정식에서 :

위치 에너지는 다음과 같다고 가정합니다. $U=\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=i+1}^{N+1}U(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)$. 그러면 각 입자의 운동 방정식은 다음과 같습니다.$$ m_i\mathbf{\ddot{r}}_i=-\sum_{k=1}^{N+1}U'(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|} $$ 첫 번째 입자의 경우 : $$\tag{2} m_1\mathbf{\ddot{r}}_1=-\sum_{k=1}^{N}U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|}-U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}}{|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{N+1}|} $$ 솔루션 (1)을 방정식 (2)에 대입하고 설정 $t=0$ 방정식으로 이어진다 $\mathbf{r}_0$. 물론 방정식은 비선형 일 수 있으며 여러 해를 가질 수 있습니다.

후 $\mathbf{r}_0$ 발견되면 $\mathbf{v}_c$ 동일한 방정식 (2)에서 얻을 수 있습니다. $t>0$.