영웅의 증명에 대한 WW Rouse Ball의 설명의 단계에 대한 의아해
나는 WW Rouse Ball의 "A Short Account of the Mathematics"의 4 판을 가지고 있습니다. 1800 년대 후반 (4 판은 1900 년대 초로 거슬러 올라감)에 쓰여진이 작품은 매우 존경받는 역사이며 역사적으로 중요한 많은 결과에 대한 접근 가능한 설명을 포함하고 있습니다.
Hero가 공식을 어떻게 도출했는지에 대한 설명에서 $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ 변이있는 삼각형의 면적 $a, b, c$ 및 반 둘레 $s$, 4 장 90 페이지, Ball은 삼각형을 설정합니다. $ABC$ 내접원을 중심으로 $O$, 터치면 $AB$ 지점에서 $F$. 그런 다음 점 K를 두 선의 만남으로 정의합니다.$C$ 측면에 수직 $BC$, 그리고 통과하는 선 $O$ 직각 $BO$. 그런 다음 다음 진술이 작성됩니다.
그는 다음 shews ( 원문 )의 각도가$OAF = $ 각도 $CBK$; 따라서 삼각형$OAF$ 과 $CBK$ 비슷합니다.
( "shews"는 "news"가 아니라 "sews"로 운율을 나타냅니다.) 그런 다음 공식은 일련의 비율 조작을 따릅니다.
나는이 두 각도가 같다는 것을 증명하거나 확신 할 수 없습니다. 나는 증명을 고전 기하학으로 제한하지 않습니다. 나는 일반적인 벡터 트릭을 시도했습니다 (예를 들어$BC = \vec{u}$ 과 $BA = \vec{v}$ 각도 이등분선이 다른 지점에서 만나는 $B$ 으로 $\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}$). 나는 또한 분석 기하학을 사용해 보았습니다. 좌표$K$ 꽤 지저분 해지고 나는 두 개의 논의 된 각도가 동일하다는 것을 "발견"할 수 없었습니다.
이 존경받는 저자가 단순히 잘못을 범했을 수 있습니까? 이후의 비율 조작은 Hero의 공식이 작동하지 않는다는 암시를주기 때문에 의심 스럽습니다.
그래서 저는이 두 각도가 같다는 간단한 데모를 찾고 있습니다.
답변
@YNK가 관찰 했듯이 핵심은$O$ 과 $C$ 같은 각도로 대치하다 $\overline{BK}$, 우리는 $\square OBKC$주기적입니다. 다음은 결과에 대한 대체 각도 추적입니다.
$$\angle CBK \underbrace{=}_{\text{Insc}\angle\text{Thm}} \angle COK \underbrace{\;=\;}_{\triangle OBC} 180^\circ - \left(\tfrac12B+\tfrac12C+90^\circ\right)=\tfrac12(180^\circ-B-C)=\tfrac12 A$$
허락하다 $\measuredangle CAB$, $\measuredangle ABC$, 및 $\measuredangle BCA$ 있다 $2\alpha$, $2\beta$, 및 $2\omega$각기. 간결함을 위해 우리는 또한$\measuredangle CBK$ 같이 $\phi$.
이후 $O$ 중심입니다. $OA$, $OB$, 및 $OC$ 각도 이등분입니다 $\measuredangle CAB$, $\measuredangle ABC$, 및 $\measuredangle BCA$ 각기
이후 $\measuredangle KOB = \measuredangle KCB = 90^o$, $OBKC$순환 사변형입니다. 따라서,$$\measuredangle BKO = \measuredangle BCO = \omega. $$
$\Delta KOB$직각 삼각형입니다. 따라서,$$\measuredangle BKO + \measuredangle OBK =\omega+\beta+\phi = 90^o\quad\rightarrow\quad \phi=90^o -\beta - \omega. \tag{1}$$
이제 삼각형을 고려하십시오 $ABC$. 거기에$$2\left(\alpha+\beta+\omega\right)=180^o \quad\rightarrow\quad \alpha=90^o -\beta - \omega. \tag{2}$$
(1)과 (2)에서 $\phi =\alpha$. 따라서,$$\measuredangle CBK = \measuredangle OAF. $$