연속 초기 하 함수 질문

Question

나는 초기 하 함수에 이르렀다 $$_2F_1\left(k+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2};\frac{3}{2},z\right)$$ 어디 $k \geq 1$ 정수이고 나는 이것이 $$\frac{p(z)}{(1-z)^{(4k-1)/2}}$$ 어디 $p$ 차수의 다항식 $k-1$(Wolframalpha는 처음 몇 가지 값을 확인합니다). 나는 이것이 연속적인 초기 하 함수와 관련된 일부 관계에서 따라야한다는 것을 이해하지만 방법을 모르고 좋은 참조가 없습니다 (우리 대학의 도서관은 COVID-19로 폐쇄되었습니다). 저는 실제로 다항식의 계수에 대해 신경 쓰지 않습니다. 왜냐하면 저는 적분이 유한하다는 것을 보여 주려고하기 때문입니다. 누구든지 나를 올바른 길로 인도 할 수 있습니까?

감사합니다, 그렉

Answer 1

오일러의 변신에서

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\\=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)$$

귀하의 경우에는

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =(1-z)^{\frac 12-2k}{}_{2}F_{1}\left(1-k,1-k;\frac 32;z\right)$$

이제 RHS의 초기 하 함수를 유한 시리즈로 확장 할 수 있습니다. $k$집단. 이것은 등급의 다항식을 만듭니다.$k-1$OP에 기록되어 있습니다. 일반적인 멱급수 정의에 따라 다음과 같이 감소합니다.

$$\begin{aligned} &{k=1 \rightarrow 1}\\ &k=2 \rightarrow 1+ \frac{2z}{3}\\ &k=3 \rightarrow 1+\frac{8z}{3}+\frac{8z^2}{15}\\ &k=4 \rightarrow 1+6z+\frac{24z^2}{5}+\frac{16z^3}{35} \end{aligned} $$등등. 일반화하면 다항식은

$$p(z)=\sum_{n=0}^{k-1} \frac{[(1-k)_n]^2 }{(3/2)_n}\frac{z^n}{n!}$$

어디 $(z)_n$상승 계승에 대한 Pochhammer 기호입니다. 우리는

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =\frac{p(z)}{(1-z)^{2k-\frac{1}{2}}}$$