연속 투사 $f: X \to Y$ 좁은 공간에서 $X$ Hausdorff 공간으로 $Y$

Question

가정 $X$ 콤팩트 한 공간이며 $Y$ Hausdorff는 $f: X \to Y$연속적인 bijection입니다. 다음 중 사실 인 것은 무엇입니까?

(나는) $f$ 열려 있습니다.

(II) $f$ 지역 동 종파입니다.

(III) $f^{-1}$ 연속적입니다.

몇 가지 관찰 및 질문 :

1. $Y$ 콤팩트 세트의 연속 이미지가 항상 콤팩트하므로 콤팩트합니다.

2. 이후 $f$ 연속, 모든 오픈 세트의 사전 이미지 $Y$ 오픈 세트입니다 $X$. 하지만 모든 오픈 세트가$X$ 오픈 세트에 매핑됩니다. $Y$ 으로 $f$? 그 이유는 무엇?

3. 지역 동종 파는 저에게 새로운 용어입니다. Wikipedia에 따르면$f$ 모든 지점의 경우 로컬 동종 $X$ 열린 부분 집합에 동종인 이웃 (점을 포함하는 열린 집합)이 있습니다. $Y$. 나는 확실하지 않다$f$국부적으로 동종인지 아닌지. 어떤 아이디어?

4. 에 대한 $f^{-1}$ 연속적이기 위해서는 모든 오픈 세트의 사전 이미지가 필요합니다. $X$ 오픈 세트입니다 $Y$ 아래에 $f^{-1}$. 이것은 어떤 식 으로든 관련이 있는지 여부$f$열린지도입니까? 글쎄요. 만약$f$ 오픈, 모든 오픈 세트 $X$ 오픈 세트에 매핑됩니다. $Y$. 이후$f$ 연속, 사전 이미지 (아래 이미지 $f^{-1}$)의 모든 오픈 세트 $Y$ 오픈 세트입니다 $X$. 따라서$f$ 오픈, 오픈 세트 $X$ 과 $Y$ bijection이 될 것이고 반드시 $f^{-1}$연속됩니다. 그래서 (I)가 사실이라면 (III)이 바로 뒤따른다고 생각합니다. 이 올바른지?

Answer 1

나는 사실이다 $f$내가 여기 에서 보여준 것처럼 , 간단히 말해서 닫힙니다 .$C \subseteq X$ 폐쇄, 의미 $C$ 컴팩트해서 $f[C]$ 콤팩트하고 Hausdorff 공간의 콤팩트 하위 집합이 닫혀 있으므로 $f[C]$ 닫힙니다.

그리고 bijection은 복종합니다 $f[X\setminus O]=Y\setminus f[O]$ 그렇게 할 때 $O \subseteq X$ 열려 있습니다. $ X\setminus O$ 닫혀서 이미지가 닫혀서 $f[O]= Y\setminus f[X\setminus O]$ 열려있다 $Y$.

그래서 $f$ 개방형 (및 폐쇄 형) 연속 bijection이므로 동종 형 (만약 $g: Y \to X$ 역 맵입니다. $g^{-1}[O]=f[O]$ 열려있다 $Y$ 모든 오픈 $O$ 에 $X$. 그래서 III도 유지합니다.

II는 사소합니다. $x \in X$ 취하다 $X$ 이웃 동종이 될 $Y$ (사소한 이웃입니다 $f(x)$). 동종 성 (homeomorphism)은 사소하게 지역 동종 성 (local homeomorphism)입니다.

그래서 모든 것은 우리가 이미 bijection 없이도 단지 연속성을 가지고 있다는 사실에서 아주 직접적으로 따릅니다. $f$ 닫힌지도입니다.