연속적인 시간의 케이크 먹는 문제 : Hamiltonian 또는 HJB?
표준 연속 시간 케이크 먹는 문제는 다음과 같이 정의됩니다.
$$\max_{c(t)}\int_0^\infty e^{-rt} \ln (c(t)) dt$$ 대상 $$f(k(t))=k(t)$$ $$\dot{k}(t)=-c(t)$$
해밀턴 자코비 벨만 방정식 (이산 시간 벨맨의 연속 시간 아날로그)을 사용하여 적절한 시간 매개 변수화를 사용하여이 문제에 접근합니다. $$rv(k)=ln(c)+v'(k)\dot{k}$$
그러나 (현재 가치가있는) 해밀턴 고유의 사용과 관련하여 우리는 다음을 가지고 있습니다. $$\mathcal{H}=e^{-rt} \ln(c(t))+\lambda(t)\dot{k}(t)$$
내 질문은 어떤 상황에서 HJB보다 Hamiltonian을 사용합니까?
이 질문에 대한 자세한 내용은 다음을 참조하십시오.
https://math.stackexchange.com/questions/3293825/transversality-condition-with-unbounded-value-function
답변
@MaartenPunt 사용자의 의견은 정확합니다. 나는 일반적으로 한 공식이 다른 공식보다 분명한 선호를 가져야하는 상황을 식별 할 수 있다고 생각하지 않습니다. 이는 사례 별 문제에 더 가깝습니다 (일반적으로 기술적 인 이유로 둘 중 하나가 실패 할 수있는 일부 꼬인 문제의 경우). 관련 토론은이 게시물을 참조하십시오.https://economics.stackexchange.com/a/14289/61.
... 또는 때로는 약간 혼란 스러울 수 있습니다. 예를 들어 특정 문제에서 잠시 멈추고 "상태 변수에 대한 해밀턴의 도함수는 무엇입니까?"
글쎄, 그것은 그것이 보이는 것입니다 : 0. 때문에
$$\frac{\partial \mathcal H}{\partial k}= \frac{\partial \lambda \dot k}{\partial k} = -\frac{\partial \lambda c}{\partial k} = 0,$$
상태 변수와 관련하여 결정 변수 또는 승수를 구별하지 않기 때문입니다. 이제 최적으로 우리는
$$\frac{\partial \mathcal H}{\partial k} = -\dot \lambda,$$
따라서 승수는 시간 축을 따라 일정합니다. $\dot \lambda = 0$. 그런 다음 다른 1 차 조건의 경우
$$\frac{\partial \mathcal H}{\partial c} = 0 \implies e^{-rt} \frac 1 c = \lambda.$$
우리가 얻는 시간과 관련하여 이것을 차별화
$$-re^{-rt} \frac 1 c - e^{-rt} \frac{\dot c}{c^2} = 0 \implies \dot c = -rc,$$
이것이 HJB에서 "정책"기능으로 얻은 것입니다.
이것이 최대인지 여부는 Hamiltonian이 공동으로 오목하기 때문에 $c$ 과 $k$, 보다, https://economics.stackexchange.com/a/6063/61.