예상 헤드 수

Question

주어진 $10$ 공정한 동전 :

• 첫 번째 라운드에서 우리는 앞면과 뒷면의 조합을 제공하는 각 동전을 한 번 던집니다.
• 두 번째 라운드에서는 첫 번째 라운드에서 꼬리에 떨어진 동전 만 던집니다.

이 실험 후 예상되는 헤드 수는 얼마입니까? $?$

직감에 따르면 $5 + 2.5 = 7.5$.

Answer 1

다른 해결책은 다음과 같습니다. 모든 동전을 두 번 뒤집 었다고 상상해보십시오. 그런 다음 첫 번째 뒤집기 또는 두 번째 뒤집기에서 앞면을 준 동전은 세고 싶은 동전 중 하나입니다. 두 번의 플립에서 적어도 하나의 앞면을 얻을 확률은 다음과 같습니다.$3/4$, 따라서 적어도 하나의 머리를 얻는 예상 동전 수는 $10 \times 3/4 = 7.5$.

Answer 2

직감만으로는 운동을 풀지 못합니다 ...

첫 번째 라운드에서 예상되는 #H는 분명히 $10\times\frac{1}{2}=5$

두 번째 라운드에서

$Y|X\sim Bin\Big(10-x;\frac{1}{2}\Big)$

그러므로

$$\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]]=\mathbb{E}\Bigg[\frac{10-x}{2}\Bigg]=5-\frac{1}{2}\mathbb{E}[X]=\frac{5}{2}$$

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{}}$

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\begin{align} &\overbrace{\color{#f44}{\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}\pars{1 \over 2}^{k} \pars{1 \over 2}^{n - k}}} ^{\substack{\ds{First\ Round:}\\[1mm] \ds{\color{#f44}{k}\ \mbox{heads}}}}\,\,\, \overbrace{\color{#44f}{\sum_{j = 0}^{n - k}{n - k \choose j}\pars{1 \over 2}^{j} \pars{1 \over 2}^{n - k - j}}} ^{\substack{\ds{Second\ Round:} \\[1mm] \ds{\color{#44f}{j}\ \mbox{heads}}}} \\[2mm] &\ \times\pars{k + j} \\[5mm] = &\ {1 \over 2^{2n}}\sum_{k = 0}^{n}\sum_{j = 0}^{n - k}{n \choose k} {n - k \choose j}2^{k}\pars{k + j} = \bbx{{3 \over 4}\,n} \\[5mm] &\ \stackrel{\ds{n\ =\ 10}}{\ds{\implies}}\quad\bbx{7.5} \\ & \end{align}