Yoneda 기본형에 대한 혼란

Aug 18 2020

허락하다 $C$ 카테고리이고 $F$ 에 대한 presheaf $C$. Yoneda 기본형은 자연적인 변화가$C(-, A)\Rightarrow F$ 의 요소와 일대일 대응 $F(A)$.

나에게이 말은 의욕이 없다. 특별한 경우를 고려하면$F=C(-, B)$, 다음 (Yoneda 기본형) $C(-, -)$ 임베딩 (즉, 완전하고 충실한 펑터)을 생성합니다. $C$ 에 presheaves의 범주로 $C$. 삽입하기 때문에 이것은 매우 동기 부여가 된 것 같습니다.$C$ 에 presheaves의 범주로 $C$ 필드를 삽입하는 것과 같은 느낌 $k$ 대수적 폐쇄로 $\bar{k}$. 또한 프리 시브 카테고리도 추상 카테고리보다 더 구체적으로 느껴집니다.$C$.

그러나 왜 일반적인 진술에 관심이 있습니까? $F$어떤 식 으로든 할 수 있습니다. 이것이 자연스러운 진술인 이유는 무엇입니까? 위에서 언급 한 Yoneda 기본형을 고려하는 아이디어를 어떻게 얻습니까?

Yoneda 기본형에 대한 또 다른 질문이 있습니다. 내가 말했듯이, 하나는$C$ 으로 $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ (에 presheaves의 범주 $C$). 공변 펑터를 고려하여$C\to\mathbf{Sets}$ presheaves 대신에 Yoneda 기본형의 공변 버전을 증명할 수도 있습니다. $C(A, -)\Rightarrow F$ (에 대한 $F\colon C\to \mathbf{Sets}$ 모든 펑터)의 요소와 일대일 대응 $F(A)$. 이것으로부터 임베딩을 얻습니다.$C$ 으로 $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$.

요약하자면 $C$ 둘 다로 $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ 과 $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$. 질문 : 어떻게$[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ 과 $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$ 서로 관련이 있습니까?

상황에 대해 조금 이상하다고 생각되는 점 : 처음에는 $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ 과 $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$동등합니다. 그러나 일반적인 사실은$$[C, D]^\text{op}\cong [C^\text{op}, D^\text{op}],$$ 그러므로 $$[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}\cong[C^\text{op}, \mathbf{Sets}^\text{op}],$$ 그것은 아니다 $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$.

답변

3 jgon Aug 18 2020 at 01:09

이 질문에 대한 가능한 대답은 다음과 같습니다.

펑 터는 카테고리의 표현이라는 관점을 취합시다.

첫째, 이것이 왜 합리적인가?

글쎄요, 카테고리는 모노 이드의 일반화 (결과적으로 그룹도 마찬가지입니다)라는 것을 기억하세요. 하나의 객체 카테고리는 모노 이드와 동일하기 때문입니다. 만약$M$ 모노 이드라면 카테고리를 정의 할 수 있습니다. $C$, 하나의 개체로 $*$, 동음 세트 $C(*,*)=M$, 그리고 단위와 곱셈에 의해 주어진 단위와 구성 $M$. 반대로, 하나의 개체 범주가 주어지면$C$, $C(*,*)$ 곱셈으로 구성을 갖는 모노 이드이고, 이러한 구성은 서로 반대입니다.

지금부터 $M$ 모노 이드 또는 $G$ 그룹입니다. $BM$ 또는 $BG$ 해당하는 하나의 개체 범주에 대해.

이제 펑 터는 어떻습니까? 글쎄, 펑 터는 무엇입니까$[BG,k\newcommand\Vect{\text{-}\mathbf{Vect}}\Vect]$?

음, 벡터 공간을 선택해야합니다. $V$ 보내다 $*$ to, 그리고 우리는 monoid homomorphism을 선택해야합니다. $G\to \newcommand\End{\operatorname{End}}\End V$. 이후$G$ 그룹, 이것은 그룹 동형과 동일합니다 $G\to \operatorname{GL}(V)$. 즉, 펑 터는$BG$ ...에 $k\Vect$ 선형 그룹 표현과 정확히 동일하며 펑터의 자연스러운 변환이 정확히 일치하는지 확인할 수 있습니다. $G$-등변 성 선형 맵.

마찬가지로, 우리가 $k\Vect$ 와 $\newcommand\Ab{\mathbf{Ab}}\Ab$, 또는 $\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$, 우리는 $G$-모듈 및 $G$-각각 설정합니다.

구체적으로, 이것들은 모두 남아 있습니다 $G$-펑터 이후의 행동 $F:BG\to \Set$ 구성을 보존해야하므로 $F(gh)=F(g)F(h)$, 그리고 우리는 $g\cdot x$ 으로 $F(g)(x)$. 그러므로$(gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x))$.

반 변성 펑터 $\newcommand\op{\text{op}}BG^\op\to \Set$ 권리를 준다 $G$-액션, 지금부터 $F(gh)=F(h)F(g)$, 그래서 우리가 정의한다면 $x\cdot g = F(g)(x)$, 그러면 우리는 $$x\cdot (gh) =F(gh)(x) = F(h)F(g)x = F(h)(x\cdot g) = (x\cdot g)\cdot h.$$

따라서 우리는 공변 펑터를 생각해야합니다. $[C,\Set]$ 왼쪽으로 $C$-액션 $\Set$, 우리는 반 변성 펑터를 생각해야합니다. $[C^\op,\Set]$ 맞아 $C$-액션 $\Set$.

맥락에서의 Yoneda Lemma

표현 가능한 presheave는 이제 다음과 같은 의미에서 단일 변수의 자유 객체에 해당합니다.

Yoneda 기본형은 우리가 자연스러운 동형을 가지고 있다는 것입니다. $$ [C^\op,\Set](C(-,A),F)\simeq F(A)\simeq \Set(*,F(A)). $$

다시 말해, $C(-,A)$ 왼쪽이 presheaf를 보내는 "잊혀진"functor에 인접 해있는 것처럼 보입니다. $F$ 평가에 $A$, $F(A)$, 그러나 싱글 톤 세트에서 평가됨 $*$.

사실, 우리는 $C(-,A)$ 전체 왼쪽 인접으로 $$\Set(S,F(A)) \simeq \prod_{s\in S} F(A) \simeq \prod_{s\in S}[C^\op,\Set](C(-,A),F) \simeq [C^\op,\Set](\coprod_{s\in S} C(-,A), F),$$ 과 $\coprod_{s\in S} C(-,A)\simeq S\times C(-,A)$.

따라서 Yoneda 기본형을 표현하는 한 가지 방법은 $S\mapsto S\times C(-,A)$ 평가에 인접하게 남아 있습니다. $A$functor (두 문장이 짧은 증명을 통해 동등하다는 의미에서). 덧붙여서, 평가에 대한 권리가 있습니다.$A$functor, 여기 를 참조하십시오 .

이것을 더 익숙한 개념과 다시 연결

이 관점에서 가장 먼저 주목해야 할 것은 우리는 이제 단지 "자유"가 아니라 "물체에서 자유"라는 개념을 가지고 있다는 것입니다. 즉, 나는 생각하는 경향이 있습니다$C(-,A)$ 하나의 변수에서 자유로운 presheaf로서 $A$ (이것은 표준 용어가 아니라 내가 생각하는 방식입니다).

이제 조심해야합니다. 자유 객체는 단순한 객체가 아니라 객체 이자 기초 입니다. 이 경우 우리의 기초 (프리 쉬프를 자유롭게 생성하는 요소)는 정체성 요소입니다.$1_A$.

이런 식으로 생각하면 Yoneda 기본형의 증명이 더 직관적이어야합니다. 결국 Yoneda 기본형의 증거는 다음과 같습니다.

$C(-,A)$ 에 의해 생성 $1_A$, 이후 $f^*1_A=f$, 어떠한 것도 $f\in C(B,A)$, 그래서 자연스러운 변형 $C(-,A)$ ...에 $F$ 보내는 위치에 따라 고유하게 결정됩니다. $1_A$. (말과 유사$1_A$ 스팬 $C(-,A)$). 또한, 모든 선택$\alpha\in F(A)$ 보낼 곳 $1_A$ "선형으로 확장"하여 자연스러운 변환을 정의 할 수 있으므로 유효합니다. $f=f^*1_A \mapsto f^*\alpha$ (이것은 말하는 것과 유사합니다 $1_A$ 선형 적으로 독립적이거나 기초를 형성합니다).

Yoneda 기본형의 공변 버전은 현재 범주의 왼쪽 표현으로 작업하고 있다는 점을 제외하면 똑같은 아이디어입니다.

더 친숙한 맥락에서 Yoneda 기본형의 예

하나의 개체 범주를 고려하십시오. $BG$, Yoneda 기본형은 올바른 정규 표현이 $G$ 자유권이다 $G$-하나의 변수에 설정 (기본 요소가 동일 함, $1_G$). (무료$n$-변수는 $n$ 올바른 정규 표현의 사본.)

임베딩 문은 이제 $G$ 삽입 될 수 있습니다 $\operatorname{Sym}(G)$ 통하다 $g\mapsto -\cdot g$.

이는 풍부한 컨텍스트에서도 작동합니다. 반지는 정확히 아벨 그룹이 풍부한 하나의 대상 범주이며,이 맥락에서 Yoneda 기본형은 올바른 행동이$R$ 그 자체로 (종종 $R_R$)는 자유 권리입니다. $R$-단위 요소를 기초로하는 하나의 변수에있는 모듈 $1_R$. (무료$n$-변수는 이제 다음의 직접 합계입니다. $n$ 사본 $R_R$)