유한 한 많은 소수로 구성된 양의 정수로 구성된 증가하는 시퀀스의 연속 항 간의 차이

Question

한다고 가정 $\{x_n\}$ 요소가 유한 한 많은 소수로 구성된 양의 정수인 증가하는 시퀀스입니다. $p_1, \dots, p_s$. 다음 한도를 확인하고 싶습니다.$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ 연속적인 용어의 차이에 대한 하한을 제공하는 결과를 읽었습니다. $\{x_n\}$문학에서. 이 결과는 연속 된 용어 간의 차이가 다양 함을 의미합니다. 그러나 위의 제한이 무한하다는 것을 기본적으로 보여줄 수 있습니까?

Answer 1

mathoverflow.net의 Felipe Voloch의이 답변 은 관련이 있습니다.

예, 이런 종류의 방정식 ax + by = c, 여기서 a, b, c는 0이 아니고 고정되어 있고 x, y는 유한 집합의 소인수 만 가질 수 있으며 유한 한 해를 가질 수 있습니다. 이것은 곡선의 적분 점에 대한 Siegel 정리의 특별한 경우입니다.

고르다 $a=1$ 과 $b=-1$, 그래서 $x-y=c$ 주어진 모든 솔루션에 대해 유한하게 많은 솔루션이 있습니다. $c$. 따라서 유한하게 많은 쌍이 있습니다.$x,y$ 와 $|x-y|<M$ 주어진 $M$.

불행히도 Siegel의 정리는 결코 기본이 아닙니다. 기초적인 증거가 없다고 생각합니다.