유한 주문 그룹 $mn$ 와 $\gcd(m,n) = 1$ .
허락하다 $G$ 질서가 유한하다 $mn$ 와 $\gcd(m,n) = 1$ 과 $H$ 질서의 정상적인 하위 집단 $m$. 주문의 유일한 하위 그룹임을 증명$m$.
이것은이 질문과 다소 다릅니다. 유한 질서 그룹$mn$ 와 $m,n$coprime 과 동형을 사용할 수 없다고 생각합니다 (다음 섹션에 있음)
내가 보자 $K$ 질서의 소집단이되다 $m$. 만약$K = H$, 끝났습니다.
그렇지 않으면 $K \neq H$. 이전 결과에 따르면$HK = \{hk | h\in H, k \in H\}$ 다른 하위 그룹이 될 것입니다 $G$ 만약 $H$평범하다. 우리는 그것을 가질 것입니다$\exists k \in K$ 그런 $k \notin H$ 또는 $\exists h \in H$ 그런 $h \notin K$. 두 경우 모두$|HK| > m$ 수 이론과 라그랑주 정리의 일부 정리에 문제를 일으킬 수 있지만 구체적인 내용은 확실하지 않습니다.
더 말할 수 있을지 모르겠어요 $|HK|$또는 내가 올바른 길을 가고 있는지 여부. 생각?
답변
허락하다 $G$ 그룹이되고 $1_G$ 이 그룹의 정체성을 나타냅니다.
사실 1. 인가$H$ 다음의 정상적인 하위 그룹입니다. $G$ 과 $[G:H]=n$, 그러면 우리는 $$x^m\in H$$ 모든 $x\in G$.
사실 2. 만약$K$ 다음과 같은 하위 그룹입니다. $|K|=n$, 그러면 우리는 $$x^n=1_G$$ 각각 $x\in K$.
이제 우리는 $K$ 주문의 하위 그룹입니다. $m$질문에 설명 된 상황에서. 에서$\gcd(m,n)=1$ 우리는 정수의 존재를 얻습니다 $u$ 과 $v$ 그런 $$mu+nv=1$$ 따라서 모든 $x\in K$, 우리는 $$x=x^{mu+nv}=(x^m)^u\cdot (x^n)^v = (x^n)^v \in H$$ 사용 $x^m=1$ 과 $x^n\in H$.
그래서 우리는 $K\subseteq H$ 그리고 함께 $|K|=|H|$ 이것은 의미 $K=H$.
사실 2는 그룹에 적용된 라그랑주 정리의 결과입니다. $K$. (우리는 기본적으로$x\in K$, 다음 순서 $x$ 분할 $|K|$. |
사실 하나의 증거는, 예를 들어, 여기에서 찾을 수 있습니다 : 하자$H$ 인덱스의 정상적인 하위 그룹 $n$ 그룹으로 $G$. 모두에게 보여주세요$g \in G, g^n \in H$및 입증 할 수있는 보통의 하위 그룹의 경우$H$ 의 $ G$ 색인 있음 $n$, 다음 $g^n \in H$ 모든 $g \in G$.