Аналитические p-адические функции, принимающие алгебраическое значение

Question

Предположим, он существует $r\in\mathbb R$ такая, что непостоянная p-адическая функция $f(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n$ ($a_n\in\mathbb C_p$) определяется на $\mathcal D=\{z\in\mathbb C_p\mid v_p(z)>r\}$. Это существует$\alpha\in\overline{\mathbb Q}\cap f(\mathcal D)$? Если да, то существует ли он$\alpha\in{\overline{\mathbb Q}}\cap f(\mathcal D\cap\mathbb Q_p)$?

Answer 1

Во-первых, да. Не умаляя общности сдвигом, можно предположить$a_1 \neq 0$.

Для $\alpha\in \mathbb Q$, позволять $x_0=0$ а также $x_{n+1} = x_n + \frac{\alpha-f(x)}{a_1}$. Чтобы проверить это$x_n$ сходится как $n$ уходит в бесконечность к корню $\alpha-f(x)$, достаточно проверить, что $v_p ( \alpha - f(x_{n+1})) \geq v_p ( \alpha - f(x_n)) + 1$.

Для этого достаточно иметь $v_p(x_n) \geq s$ а также $v_p( x_{n+1}- x_n) \geq s$ для некоторых $s \in \mathbb R$ такой, что $v_p (a_n)+n s> v_p (a_1) + s + 1$ для всех $n > 1$, так как тогда вклады $a_2$ и выше до $\alpha - f(x_{n+1})$ будет преобладать вклад $a_1$.

В этом легко убедиться, предварительно выбрав такой $s < \frac{ v_p (a_n) - v_p(a_1) - 1}{ n-1}$ для всех $n>1$ (проверяя, что этот ряд ограничен снизу), а затем выбирая $alpha$ такой, что $v_p ( \alpha- a_0) > a_1 + s$, чтобы $v_p(x_1-x_0)>s$ и, таким образом, индуктивно $v_p(x_{n+1} -x_n) >s$ для всех $n$.

Для второго нет. Просто возьми$f(z) = z + b$ где $b\notin \mathbb Q_p + \overline{\mathbb Q}$. С$\mathbb C_p/\mathbb Q_p$ несчетное количество таких $b$ существуют.