Является $f(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^6}$ дифференцируемый на $(0,0)$? [дубликат]

Question

Дифференцируема ли следующая функция при $(0,0)$?

$$ \ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^6} & \text{if } (x,y) \ne (0,0), \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0). \end{cases} $$

Я обнаружил, что обе частные производные $0$, а затем попытался вычислить следующий предел:

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{xy^3}{x^2+y^6}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{(x^2+y^6) \sqrt{x^2+y^2}}$$

А потом я застрял. Я попробовал теорему сжатия, но все равно не смог ее вычислить.

Как я могу рассчитать этот лимит?

Answer 1

Это даже не непрерывно $(0,0)$. Намекать: $f(y^3,y)=\dfrac12$ если $y\ne0$.

Answer 2

Напомним, что непрерывность является необходимым условием дифференцируемости, поскольку дифференцируемость влечет непрерывность и по$y^3=v \to 0$ используя полярные координаты, мы имеем

$$\frac{xy^3}{x^2+y^6}=\frac{xv}{x^2+v^2}=\cos\theta\sin \theta$$