Является $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ изоморфен $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ или $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?
Является $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ изоморфен $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ или $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?
Я думаю $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1) \not\cong \mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ потому что первое не является полем, поскольку ($x^{2} + 2x + 1$) приводимо, но последнее является полем, поскольку $(x^{2}+1)$неприводимо. Это правильно?
Насчет второго звонка я не уверен.
Ответы
Да, насчет первого вы правы. Еще один способ показать это$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1) \ncong \mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ следует отметить, что $(x+1)^2 = 0$ в $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1)$ а квадрат любого ненулевого элемента $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ не равно нулю, поэтому они не могут быть изоморфными.