Что такое категория бесконечности на самом деле?
Меня интересует, какую именно информацию кодирует бесконечная категория. Например, рассмотрим бесконечную категорию пространств. Мне нравится думать об этом как о гомотопической категории пространств, снабженной некоторой дополнительной структурой, исходящей из модели симплициального множества, которая позволяет нам вычислять гомотопические пределы и так далее. Мой (довольно расплывчатый) вопрос:
- Насколько уникальна эта структура? Другими словами, существует ли для данной гомотопической категории каноническая ассоциированная категория бесконечности?
- Соответственно, кодируют ли категории бесконечности любую информацию, которая не является гомотопической (под этим я имею в виду информацию, которая не может быть получена из категории гомотопии) по своей природе? Если да, то?
Ответы
Я думаю, что полезно рассмотреть гораздо более низкоразмерный аналог вашего вопроса, который (по крайней мере, для меня) намного проще рассуждать интуитивно, но все же передает часть сообщения.
Давайте сравним $0$-категории (т. е. множества) и $1$-категории (т. е. категории) в зависимости от того, что они могут кодировать.
- а $0$-категория - это просто класс объектов. Два объекта$(0,1)$-категории эквивалентны в точности, если они равны (это$0$-категориальное усечение эквивалентности), и больше ничего нельзя сказать об объектах.
- а $1$-категория - это $0$-категория (слабо) обогащенная $(0,0)$-категории (т.е. наборы), что позволяет нам более деликатно относиться к тому, как один объект соотносится с другим; в частности, морфизмы позволяют описывать структуру объектов, а$1$Таким образом, категориальный язык обращается к свойствам объектов в отношении их структуры. Точнее, два объекта$1$-категории эквивалентны в точности, если они изоморфны (т. е. имеют одинаковую структуру), и$1$-категорические конструкции (такие как co / limits) определены с точностью до изоморфизма.
Учитывая $1$-категория $\def\cC{\mathcal C}$ $\cC$, мы можем определить его гомотопию$0$-категория $\def\Ho{\operatorname{Ho}}$ $\Ho\cC$ как $0$-категории, объекты которой являются классами изоморфизма объектов $\cC$. Это служит эффективной презентацией$\cC$ с $0$-категория в том смысле, что объекты $\cC$ изоморфны в точности, если соответствующие объекты в $\Ho\cC$ равны.
Однако мы также можем видеть, что это сложно реконструировать, даже канонически, поскольку несколько неэквивалентных $1$-категории могут иметь одинаковую гомотопию $0$-категория. Самый быстрый способ увидеть это - заметить, что$0$-категория $X$ можно рассматривать как $1$-категории только с тождественными морфизмами, и в этом случае $\Ho X=X$; в частности, учитывая любые$1$-категория $\cC$, его гомотопия $0$-категория $\Ho\cC$ это также презентация $0$-категория $X := \Ho\cC$ рассматривается как $1$-категория . Какой из$\cC$ и $X$ был бы более подходящим выбором "канонического $1$-категория "связана с $\Ho\cC$?
Более того, как упоминается в комментариях, практически невозможно выполнить $1$-категорические конструкции в гомотопии $0$-категория: единственные диаграммы $F:J\to\Ho\cC$которые имеют пределы - это постоянные диаграммы. Фактически, даже если бы мы вычисляли предел функтора$F:J\to\cC$ где все объекты на диаграмме были изоморфны друг другу (то есть индуцированное отображение $F:\operatorname{Ob}J\to\Ho\cC$ - постоянное отображение), так что предел в гомотопии $0$-категория существует, предел в $\Ho\cC$ не обязательно иметь отношение к пределу в $\cC$. Например, декартово произведение$X\times X$ обычно не изоморфен $X$, но предел в соответствующем отображении $\{\bullet\,\,\,\bullet\}\to\Ho\cC$ (которое является постоянным отображением) всегда будет классом изоморфизма $X$.
История похожа на $(\infty,1)$-категории. Поскольку их можно рассматривать как категории, слабо обогащенные пространством (или$\infty$-groupoids), мы можем быть еще более деликатными при сравнении объектов. Подобно тому, как категории заботятся о структуре объектов,$(\infty,1)$-категории связаны с гомотопической когерентной структурой объектов. Например:
- рассмотрим топологические пространства $\Bbb R$, $(0,1)$, и $\{0\}$. Если мы посмотрим на них$0$-категории (в $0$-категория $\mathbf{Top}_0$топологических пространств), то все они совершенно разные, так как состоят из разных элементов. Если мы посмотрим на них$1$-категории (в $1$-категория $\mathbf{Top}$ топологических пространств и непрерывных отображений), то $\Bbb R$ и $(0,1)$ одинаковы, потому что имеют одинаковую топологическую структуру, но отличаются от $\{0\}$потому что они не могут быть взаимно однозначными. Наконец, если мы посмотрим на них$(\infty,1)$-категориально, то все три объекта одинаковы, так как их можно свести в точку.
- аналогично рассмотрим категории $\mathbf{FinSet}$ конечных множеств и его полной подкатегории $\mathbf{FinOrd}$на конечных ординалах. Они неизоморфны как категории, потому что первая имеет собственный класс объектов, а вторая имеет набор и, следовательно, не может быть сопоставлена; однако они эквивалентны как категории, потому что мы можем сжимать объекты$\mathbf{FinSet}$ вместе биекциями вместе (по их мощности) и найдем, что $\mathbf{FinOrd}$это скелет из$\mathbf{FinSet}$
Мы, безусловно, можем связать с $(\infty,1)$-категория $\def\sC{\mathscr C}$ $\sC$ гомотопическая категория $\Ho\sC$, где объекты $\Ho\sC$ изоморфны в точности, если они эквивалентны в $\sC$, но мы видим ту же проблему при попытке реконструировать это. Как и раньше, категория$\cC$ можно рассматривать как $(\infty,1)$-категория, где все высшие клетки тривиальны, и в этом случае $\Ho\cC=\cC$, поэтому с учетом $(\infty,1)$-категория $\sC$, его гомотопическая категория также является представлением категории $\cC := \Ho\sC$ рассматривается как $(\infty,1)$-категория .
Кроме того, вычислительные ограничения в $\Ho\sC$ ничего не скажу о том, как вычислять пределы в $\sC$. Например, рассмотрим$(2,1)$-категория $\mathbf{Cat}$ (малых) категорий, функторов и естественных изоморфизмов, рассматриваемых как $(\infty,1)$-категория. Тогда его гомотопическая категория$\Ho\mathbf{Cat}$на самом деле не имеет откатов, что показано здесь . Различие между гомотопическими пределами в целом , так и ограничением в соответствующей гомотопической категории также подчеркивается здесь , где они подчеркивают , что даже если предел в$\Ho\sC$ существует, он может не соответствовать пределу в $\sC$.
В некоторых случаях вы можете предъявить $(\infty,1)$-категория с $1$-категория оснащена дополнительной структурой, чтобы вы могли работать с $1$-категориальный язык для обсуждения структуры $(\infty,1)$-категории, которую он представляет, и вы даже можете восстановить $(\infty,1)$-категория канонически. Например, если$\sC$является локально презентабельно$(\infty,1)$-категория , то вы можете представить ее с категорией комбинаторной симплициальной модели$\cC$. Тогда пределы в$\sC$ соответствуют пределам гомотопии в $\cC$, и даже у них одинаковые гомотопические категории. Более того, вы можете восстановить$\sC$(например) взяв гомотопический когерентный нерв симплициально обогащенной подкатегории$\cC$ на кофибрантных волокнистых объектах, так что в этом смысле есть канонический способ вернуться назад.