Дифференциальное неравенство с граничными значениями

Aug 20 2020

Позволять $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ быть дважды дифференцируемой функцией на $(0,1)$ такой, что $f(0)=f(1)=0$ и $f''+2f'+f \ge 0$

Тогда какое из следующих значений не может быть достигнуто с помощью $f$ ?

$(a)\quad \pi$

$(b) \quad e$

$(c) \quad e^{\pi}$

$(d) \quad {\pi}^e$

Моей первой мыслью было взять равенство с нулем.

потом $f(x)=(a+bx)e^{-x}$ Whefe $a,b$ являются произвольными константами

С граничным значением имеем $a=0=b$ так $f=0$. Так что никаких выводов

Снова взяв дифференциальное уравнение

$f''+2f'+f=e^{\pi x}$

У нас есть общее решение как

$f(x)=(a+bx)e^{-x}+\frac{e^{\pi x } }{(\pi+1)^2}$

С граничными значениями

$a=-\frac 1{(\pi+1)^2}$ и $b=\frac{e^{\pi+1}}{(\pi+1)^2}+ \frac 1{(\pi+1)^2} $

Но что из этого сделать?

Я полностью сбит с толку, так как я новичок в этом типе проблемы.

Пожалуйста, помогите мне решить этот вопрос. Спасибо за ваше время.

Ответы

6 LutzLehmann Aug 20 2020 at 13:45

Рассматривать $g(x)=e^xf(x)$. потом$g(0)=g(1)=0$ и $g''(x)=e^x(f''(x)+2f'(x)+f(x))\ge 0$. Это значит, что$g$- выпуклая функция. Теперь вспомним, как секущая лежит относительно выпуклой функции, чтобы заключить, что$g(x)\le 0$ и таким образом также $f(x)\le 0$ за $x\in[0,1]$.