Дифференциальное неравенство с граничными значениями
Позволять $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ быть дважды дифференцируемой функцией на $(0,1)$ такой, что $f(0)=f(1)=0$ и $f''+2f'+f \ge 0$
Тогда какое из следующих значений не может быть достигнуто с помощью $f$ ?
$(a)\quad \pi$
$(b) \quad e$
$(c) \quad e^{\pi}$
$(d) \quad {\pi}^e$
Моей первой мыслью было взять равенство с нулем.
потом $f(x)=(a+bx)e^{-x}$ Whefe $a,b$ являются произвольными константами
С граничным значением имеем $a=0=b$ так $f=0$. Так что никаких выводов
Снова взяв дифференциальное уравнение
$f''+2f'+f=e^{\pi x}$
У нас есть общее решение как
$f(x)=(a+bx)e^{-x}+\frac{e^{\pi x } }{(\pi+1)^2}$
С граничными значениями
$a=-\frac 1{(\pi+1)^2}$ и $b=\frac{e^{\pi+1}}{(\pi+1)^2}+ \frac 1{(\pi+1)^2} $
Но что из этого сделать?
Я полностью сбит с толку, так как я новичок в этом типе проблемы.
Пожалуйста, помогите мне решить этот вопрос. Спасибо за ваше время.
Ответы
Рассматривать $g(x)=e^xf(x)$. потом$g(0)=g(1)=0$ и $g''(x)=e^x(f''(x)+2f'(x)+f(x))\ge 0$. Это значит, что$g$- выпуклая функция. Теперь вспомним, как секущая лежит относительно выпуклой функции, чтобы заключить, что$g(x)\le 0$ и таким образом также $f(x)\le 0$ за $x\in[0,1]$.