Доказать $\epsilon - \delta$ стиль, который $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ через противоречие

Aug 19 2020

Вопрос: доказать$\epsilon - \delta$ стиль, который $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ через противоречие

Итак, моя первоначальная идея - предположить $\lim\limits_{x \rightarrow 2} x^2 = 6$. Тогда для всех$\epsilon > 0$ $\exists$ $\delta > 0$ такой, что $|x^2-6| < \epsilon \rightarrow0 < |x-2| < \delta$

Тем не менее, я не уверен, как показать contradictio, не "вставляя его" .... может кто-нибудь показать мне?

Ответы

1 ZAF Aug 19 2020 at 07:57

Позволять $\varepsilon = 0.25 > 0 $

У нас есть это для всех $\delta > 0$, если взять $\alpha = \text{min}\{0.1,\frac{\delta}{2} \}$, то имеем $2\alpha + \alpha^{2} \leq 0.2 + 0.01 = 0.21$

Если мы возьмем $x = 2 + \alpha$у нас есть это $|2+ \alpha - 2| = \alpha < \delta$, но $|(2+ \alpha)^{2} - 6| = 6 - 4 - 2\alpha - \alpha^{2} \geq 2 - 0.21 > 1 > \varepsilon$. Тогда противоречие с определением предела