Доказательство непрерывности $\sqrt{x}$ - в чем моя ошибка?

Question

Я пытаюсь доказать это $f(x) = \sqrt{x}$ продолжается на $[0, \infty)$. Вот что у меня есть на данный момент:

Рассматривать $x_0 \in [0,\infty)$ $$|f(x) - f(x_0)| = |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}|$$

Умножим это количество на положительное число. $|\sqrt{x}+\sqrt{x_0}|$. Потом,$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}||\sqrt{x} + \sqrt{x_0}|\\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |x-x_0| < \delta \end{align} $$

Давай выберем $\delta=\epsilon$. Теперь у нас есть$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\delta \\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\epsilon \\ |f(x) - f(x_0)| & < \epsilon \end{align} $$ когда $|x-x_0|<\delta$. Кажется доказанным, если вы спросите меня, но из того, что я читал, модуль непрерывности$\sqrt{x}$ является $\delta(\epsilon)=\epsilon^2$. Это заставляет меня сделать вывод, что где-то я сделал ошибку, но не могу ее найти. (Бьюсь об заклад, это какая-то глупая деталь)

Заранее спасибо!

Answer 1

Подсказка:

$$|\sqrt x-\sqrt{x_0}|=\frac{|x-x_0|}{\sqrt x+\sqrt{x_0}}<\frac\delta{\sqrt x+\sqrt{x_0}}$$

и ты знаешь $\;\sqrt x\ge 0\;$ для всех $\;x\in[0,\infty)\;$ , так $\;\sqrt x+\sqrt{x_0}\ge\sqrt{x_0}\;$ ...