Доказательство примыкания $\text{ev}_0 \dashv r:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$
Я помню что $\Delta$ категория, объекты которой имеют форму $\textbf{n}=\{0,1,...,n\}$ а морфизмы - это (слабо) сохраняющие порядок отображения.
Позволять $\mathcal{C}$ категория, и пусть $\mathcal{C}^{\Delta}=[\Delta, \mathcal{C}]$ - категория функторов косимплициальных объектов в $\mathcal{C}$.
Есть функтор $\text{ev}_0:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$ который принимает косимплициальный объект $X[-]$ к его стоимости в $0$, $X[0]$.
Также есть функтор $r:\mathcal{C} \to \mathcal{C}^{\Delta}$ взять объект $C$ к постоянному функтору $rC$ такой, что $rC[n]=C$ для всех $n$.
Я прочитал заявление, что у нас есть пристройка $$\text{ev}_0 \dashv r$$ и я хотел бы это доказать.
Учитывая естественное преобразование $\eta: X[-] \Rightarrow rC$, Я, конечно, могу отправить его на карту $\eta_0:X[0]\to C.$
С другой стороны, я могу рассмотреть диаграмму $$\cdots\to X[n]\to \cdots \to X[1]\to X[0]$$ где каждый $$\alpha_{n,n-1}:X[n] \to X[n-1]$$ индуцируется сюръекцией $\textbf{n}\to \textbf{n-1}$ отправка $n \mapsto n-1$ и $i \mapsto i$ для всех $i<n$.
Итак, учитывая карту $f:X[0] \to C,$ Я могу индуктивно определить $$f_0=f$$ $$f_i=f_{i-1}\alpha_{i,i-1}$$
Я думаю, что если я докажу эту семью $\{f_i\}_i$определяет карту косимплициальных множеств, т.е. естественное преобразование, я закончил. Но я не знаю, как это сделать с общими картами$X[i]\to X[j].$
Ответы
Для каждого $n$ есть уникальная карта $!_n : n \to 0$ в $\Delta$. Предположим, что$\alpha : X \implies r(c)$это естественное преобразование. Тогда по естественности на карте$!_n$, компонент $\alpha_n$ должно быть равно $\alpha_0 \circ X(!_n)$. Таким образом, естественное преобразование в$\mathcal{C}^\Delta(X, r(c))$ полностью определяется $\alpha_0$.
С другой стороны, если $\alpha_0 : X(0) \to c$ это морфизм в $\mathcal{C}$ тогда мы можем поднять его до естественного преобразования $\alpha : X \implies r(c)$ путем определения компонента $\alpha_m : X(m) \to c$ быть $\alpha_0 \circ X(!_m)$. Это действительно естественное преобразование, потому что если$f:n \to m$ в $\Delta$ тогда $\alpha_m \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m) \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m \circ f) = \alpha_0 \circ X(!_n) = \alpha_n$.