Докажи, что если $a+b$ является иррациональным числом, то хотя бы одно из $a$ или $b$ иррационально.
Я наткнулся на этот вопрос в книге. Я попытался доказать это условие следующим образом: предположим, что a и b рациональны. Ясно, что сумма$a$ и $b$ рационально, что противоречит условию, что $a+b$иррационально. Следовательно, по крайней мере одно из a или b иррационально.
Такое ощущение, что там что-то не так. Мне кажется, что использование контрапозитивных доказательств могло бы быть лучше, но я не уверен, потому что я новичок в мире доказательств.
Ответы
Утверждение, которое вы пытаетесь доказать, $\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$. Это просто символический перевод утверждения «для каждого$a,b$, если $a+b$ иррационально, то по крайней мере один из $a$ или $b$ иррационально ".
Здесь заявление $X$ является "$a+b\notin \Bbb{Q}$", и заявление $Y$ является "$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$". Итак, контрапозитив" для каждого $a,b$ ($X \implies Y$) "есть" для каждого $a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$", который в данном случае:
Для каждого $a,b$ у нас есть ($a\in \Bbb{Q}$ и $b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$)
и это то, что вы утверждали.
Хочу обратиться к вашему комментарию "Я не понимаю, как здесь работает контрапозитив".
Позволять $\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (множество иррациональных чисел).
Вы хотите показать это
$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$
Прежде чем перейти на контрапозитив, обратите внимание, что для $a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$
Теперь контрапозитив становится
$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$ что в свете вышеизложенного наблюдения $$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$
что является определяющим свойством $\mathbb{Q}$.
Помните также, что $\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$.