Докажи, что если $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ , и $~\sum c_n=C$ [дубликат]

Question

Позволять $\{a_n\}$, $\{b_n\}$быть последовательностями. Определить$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}$.

Докажи, что если $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ , и $~\sum c_n=C~$ (так что все они сходятся), тогда $C=AB$. (Обратите внимание, что нам не нужно$\sum a_n$ быть абсолютно сходящимся).

Здравствуйте все. Я застрял в том, как начать эту проблему. Мне не нужен ответ, просто намек на то, как начать.

Answer 1

Мне жаль, что я неправильно понял вопрос ранее. Вероятно , вы ищете вот что:

Позволять $\sum a_{n}~$ , $\sum b_{n}$ условно сходящиеся комплексные ряды, $\sum c_{n}$ является произведением Коши $\sum a_n$, $\sum b_n$ такой, что $\sum c_n$сходится. Потом,$$\sum c_{n} = \left(\sum a_{n}\right)\left(\sum b_{n}\right)$$

Для полного доказательства перейдите по той же ссылке, что и выше.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: обновлены ссылки. Приносим извинения за неудобства.