Докажи это $2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$ [дубликат]

Question

Я пытаюсь доказать для алгоритма, что данный $a,b,n$ положительные целые числа: $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$$ Я попробовал по индукции и получил следующий шаг: $$2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})\geq^?(a+b)^{n+1}$$ Я пробовал использовать биномиальное расширение $(a+b)^n=\sum^n_{k=0} {{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}$ а затем исключая последний элемент $$(a+b)^{n+1}=\sum^{n+1}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k+1}=\sum^{n}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=\sum^{n}_{k=0} (n+1){{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0=[(n+1)b]\sum^{n}_{k=0}{{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=[(n+1)b](a+b)^n+a^{n+1}\leq[(n+1)b]\times2^{n-1}(a^n+b^n)+a^{n+1}$$ Предполагая, что пока все правильно, я не знаю, как дальше получить $\leq 2^n(a^{a+1}+b^{n+1})$

Моя вторая попытка заключалась в следующем: $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n \setminus\cdot(a+b)$$ $$2^{n-1}(a^n+b^n)(a+b)\geq(a+b)^{n+1}$$ $$2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}+a^nb+b^na)\geq(a+b)^{n+1}$$ Теперь я не знаю, как устранить $a^nb+b^na$, и перейти к $2^n$

Есть ли другой способ доказать это? Или какие-нибудь намеки на продолжение моего шага?

Answer 1

Из неравенства перестановок имеем: $$a^n+b^n\geq a^i\cdot b^{n-i}+a^{n-i}\cdot b^i$$

$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\leq\frac{a^n+b^n}{2}\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}$$

что именно то, что вы хотите