Докажите, что топология продукта в $\Bbb C^n$ равен обычному
Итак, хорошо известно, что функция $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ определяется условием
- $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$
для любого $x,y\in\Bbb C^n$это внутренний продукт. Поэтому прошу доказать, что топология продукта на$\Bbb C^n$ индуцированный внутренним продуктом $\tau_1$ равна топологии $\tau _n$как определено выше. Я отмечаю, что мне нужен этот результат, чтобы показать, что линейные функции между двумя топологическими векторными пространствами являются непрерывными, и, таким образом, чтобы показать, что все топологии в конечномерном топологическом векторном пространстве эквивалентны, и поэтому я вежливо прошу не давать то, что только что сказано как ответ. Так может кто-нибудь мне помочь, пожалуйста?
Ответы
Топология продукта порождается нормой
$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ где $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$. Обозначение
$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ у нас есть
$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ что позволяет прийти к желаемому результату.