Если $A$ это подмножество реальной линии $\mathbb R$ и $\mathbb Q \subseteq A$ что из следующего должно быть правдой?
Если $A$ это подмножество реальной линии $\mathbb R$ и $A$ содержит каждое рациональное число, что из следующего должно быть верным?
а) Если $A$ открыто, то $A = \mathbb R$.
(б) Если $A$ закрыто, то $A = \mathbb R$.
(c) Если $A$ несчетное количество, тогда $A = \mathbb R$.
(d) Если $A$ несчетное количество, тогда $A$ открыт.
е) если $A$ счетно, то $A$ закрыто.
Мой подход:
(а) Неверно. $A$ можно сказать $\mathbb R\setminus \{\sqrt{2}\}$ который открыт, поскольку в основном представляет собой объединение двух открытых множеств $(-\infty, \sqrt 2) \cup (\sqrt 2, \infty)$.
(б) Верно. $\bar {\mathbb Q}$ - наименьшее замкнутое множество, содержащее $\mathbb Q$. И мы знаем$\bar {\mathbb Q} = \mathbb R$. Так что если$A$ закрыто, то $A = \bar A = \mathbb R$. Это не могло быть больше, чем$\mathbb R$.
(c) Неверно. $\mathbb R \setminus \{\sqrt{2}\}$ содержит $\mathbb Q$ но бесчисленное множество.
(d) Я не уверен в этом, но думаю, что это неправда. Может ли кто-нибудь привести явный пример несчетного множества$A$ содержащий $\mathbb Q$ что открыто?
(e) Неверно. Контрпример$\mathbb Q$сам. Мы знаем это$\mathbb Q$не открыт и не закрыт в$\mathbb R$.
Ответы
Я думаю, что для (d) вам действительно нужен несчетный набор $A$ содержащий $\Bbb Q$это не открыто. Легкий$[0,1]\cup\Bbb Q$. (В (а) ты уже привел пример того, который является открытым.)
Остальные ваши ответы верны.