Если $\{a_n\}$ положительная последовательность и $b_n := a_1/a_2 + \dotsb + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1$, затем покажите, что $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$.

Aug 18 2020

Позволять $a_n$ быть положительной последовательностью.

Мы определяем $b_n$ следующим образом:

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$

Вопрос: Докажите, что$\lim b_n=\infty$.


Мое предложенное решение: я смог доказать обратное (что предел не бесконечен), не могли бы вы показать мне, что я сделал не так?

я взял $a_n$ следующим образом: $1,1,2,8,64,1024,\dots$ потом $b_n$ является: $$1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dotsb + a_n.$$ Первые элементы, кроме последнего, представляют собой сумму геометрической прогрессии, которая сходится к $2$ когда $n$ становится слишком большим, поэтому общий предел $2+a_n$ что точно не бесконечность ...

Ответы

6 user Aug 18 2020 at 14:15

В вашем контрпримере что-то не работает, вы действительно предполагаете

$$\large {a_n=2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\to \infty$$

и поэтому

$$b_n= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} + a_n\ge a_n \to \infty$$

Чтобы доказать, что $b_n \to \infty$, по AM-GM мы имеем

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \ge n \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n-1}}{a_n} \cdot \frac{a_n}{a_1}}=n\cdot 1=n\to \infty$$

затем заключите с помощью теоремы сжатия.

3 YvesDaoust Aug 18 2020 at 14:40

Мы можем написать

$$b_n=c_1+c_2+c_3+\cdots c_{n-1}+\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}$$ где $c_k$ положительные числа.

Минимальное значение $b_n$ находится путем отмены градиента,

$$\forall k:1-\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}c_k}=0$$ или же $$c_k=\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}=\frac1p.$$

Решение $p=c_k=1$ и $b_n=n$ - это минимально возможная сумма, которую @user независимо находит.