Если каждая непрерывная вещественнозначная функция, определенная на $K$ ограничен, то $K$ компактный

Question

Я пытаюсь решить следующий вопрос из раздела реального анализа :

1. Позволять $K$ быть непустым подмножеством $\mathbb R^n$ где $n > 1$. Какое из следующих утверждений должно быть верным?

(I) Если $K$ компактно, то всякая непрерывная вещественнозначная функция, определенная на $K$ ограничено.

(II) Если каждая непрерывная вещественнозначная функция, определенная на $K$ ограничен, то $K$ компактный.

(III) Если $K$ компактно, то $K$ подключен.

Доказательство для (I) стандартное. Я пытаюсь увидеть (II) от противного.

Можно ли сформулировать доказательство (II) следующим образом:

Предположим $K \subseteq \mathbb R^n$не компактный. Тогда существует открытая крышка$\mathcal C$у которого нет конечного подпокрытия. Но$f: K \to \mathbb R$непрерывно. (...) Противоречие.

Answer 1

Подмножество $\mathbb{R^n}$компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено, это стандартный результат. Теперь предположим, что каждая непрерывная вещественнозначная функция определена на$K$ограничено. В частности, функция$f(x)=||x||$ ограничен $K$, следовательно $K$ - ограниченное множество.

Так что нам нужно только доказать $K$закрыто. Что ж, предположим, что это не так. Тогда есть какой-то момент$y\in\overline{K}\setminus K$. Определить$f:K\to\mathbb{R}$ по $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. Это непрерывная функция, которая не ограничена; противоречие.

Answer 2

Я просто хотел бы добавить, что если бы диапазон был реалами с ограниченной метрикой, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, то утверждение неверно для метрических пространств, даже если $Dom(f)$ удовлетворял свойству Гейне-Бореля.