Если $\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$. Затем вычислите $\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$. Вот $i=\sqrt{-1}$
ВОПРОС: Если$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$ , $\text{ }$затем вычислить $$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$$ Вот $i=\sqrt{-1}$ .
МОЙ ОТВЕТ: Я сделал это, используя квадратичную формулу и теорему Де Муавра. Позвольте мне записать свою работу, прежде чем я высказываю свои сомнения ... Вот как я это сделал ...
Решая уравнение, получаем $$x^2-(i\sqrt{2})x-1=0$$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2} \pm \sqrt{(i\sqrt{2})^2+4}}{2} $$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}$$ Взять $x=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=e^{\frac{i\pi}4}$
Теперь мы знаем, что $2187=(273\times8)+3$
$$\therefore x^{2187}=e^{2187\times \frac{i\pi}4}=e^{(273\times 2\pi + \frac{3\pi}4)i}=e^{\frac{{3\pi}}{4}i}=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$$
$$\therefore x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}= \frac{i-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{i-1}$$ $$=\frac{(i-1)^2-2}{(i-1)\sqrt{2}}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{(1+i)}{(1-i)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)^2$$ $$=\boxed{\sqrt{2}i}$$
Теперь мой первый вопрос заключается в том, что квадратичное соотношение дало нам два разных значения для$x$. Тот, с которым я работал, чтобы найти ответ$\sqrt {2}i$ и другие, $\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\big)$который я оставил. Теперь, работая с этим, я обнаружил, что угол оказывается равным$\frac{\pi}{10}$и после этого все становится намного сложнее. Официальный ответ на этот вопрос:$\sqrt{2}i$ (что соответствует тому, что я выяснил).
Я сомневаюсь, почему мы не принимаем во внимание другую ценность $x$ ?
И есть ли какие-нибудь альтернативные (желательно более простые) методы решения этой проблемы?
Большое спасибо за вашу помощь и поддержку .. :)
Ответы
$2187=3^7$. Это ключ к разгадке. Полномочия$3$значительны. Сейчас же$$\left(x-\frac1x\right)^3=(i\sqrt2)^3=-2i\sqrt2$$ и $$\left(x-\frac1x\right)^3=x^3-\frac1{x^3}-3\left(x-\frac1x\right) =x^3-\frac1{x^3}-3i\sqrt2.$$ Так $$x^3-\frac1{x^3}=i\sqrt2.$$ Повторяя это, $$x^9-\frac1{x^9}=i\sqrt2,$$ $$x^{27}-\frac1{x^{27}}=i\sqrt2$$ и т.д. В конце концов, $$x^{2187}-\frac1{x^{2187}}=i\sqrt2.$$
На самом деле легко проверить, что оба значения $x$дают тот же результат. Для решения всей задачи вам просто дважды понадобится формула Де Муавра (две строчки без объяснения причин).
Для $x=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$, вы показали, что ответ $i\sqrt 2$.
Теперь позвольте $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}$. Используя формулу Де Муавра и тот факт, что$$z-\frac{1}{z}=2i\sin(\arg(z))$$ ты получаешь $$x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}} = x^3-\frac{1}{x^3} = 2i\sin\frac{9\pi}{4}=i\sqrt 2$$ Выполнено!