Есть ли понятие проективной категории dg?

Aug 20 2020

Начиная с статьи Орлова « Гладкие и собственные некоммутативные схемы и склейка DG-категорий », dg-категории считаются некоммутативным аналогом алгебраической геометрии. Более конкретно, мы называем dg-категорию некоммутативной схемой, если она является допустимой dg-подкатегорией категории dg$\mathfrak{Perf}(X)$ для гладкой проективной схемы $X$. Теперь многие свойства схемы$X$ определяется над полем $k$ можно перевести в свойства категории $\mathfrak{Perf}(X)$ (расширение dg $Perf(X)$), например

(1) схема $X$ правильно над $k$ если и только если для любого $E,F \in \mathfrak{Perf}(X)$ у нас есть (здесь я определяю $E$ а также $F$ с их изображением в гомотопической категории $\mathfrak{Perf}(X)$, которая по определению $Perf(X)$) $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} \text{dim} \, \text{Hom}_{Perf(X)}(E,F[n]) < +\infty$$

(2) схема $X$ сглаживается $k$ тогда и только тогда, когда диагональный бимодуль, связанный с $\mathfrak{Perf}(X)$ идеально в производной категории $\mathfrak{Perf}(X)-\mathfrak{Perf}(X)$ бимодули.

Исходя из вышеизложенного, можно затем обобщить эти понятия на это, а также на гладкие и собственные категории dg. Мой вопрос заключается в том, существует ли аналогичная аналогия для понятия проективной схемы и, следовательно, для понятия «проективной dg-категории».

Заранее спасибо.

Ответы

7 Sasha Aug 21 2020 at 14:44

Если $X$ - гладкое трехмерное проективное многообразие с кривой плавности $C$ тогда обычно разнообразие $Y$ получен из $X$ на флопе в $C$ не проективно, но гладко, собственно и производно эквивалентно $X$. Это показывает, что проективность не инвариантна относительно производной эквивалентности, следовательно, не соответствует свойству производной категории.