Формируют ли рекурсивно перечисляемые множества покрытие для $\mathbb{N}$? Если да, то каким дополнительным условиям насыщения он удовлетворяет?

Aug 17 2020

Рекурсивно перечислимые множества представляют собой набор подмножеств $\mathbb{N}$, определение которого хорошо известно, и его можно найти в Википедии здесь . Вчера я случайно наткнулся на определение «обобщенных топологических пространств» здесь (определение 2.2.1) (далее именуемое GTS). Определение обширное, и я прошу читателя проверить ссылку, но ради текста вопроса; тройка$(X, Op_X, Cov_X)$, с набором $X$, собрание открытых множеств $Op_X\in 2^X$, а допустимые покрытия $Cov_X\in 2^{2^X}$ (последний отличает GTS от обычной топологии; объединения не являются произвольными, а ограничиваются $Cov_X$) образует GTS, если тройка удовлетворяет некоторым условиям от A1 до A8.

Затем мы можем проверить, $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$ образует такое пространство (где $RE$ набор рекурсивно перечислимых множеств, и $Cov_{RE}$ это собрание коллекций $C$ из $RE$ такие элементы, что $C$сам рекурсивно перечислим [1]). Оказывается, нет: условия A7 и A8 (аксиомы насыщенности [2] и регулярности) для этой тройки не выполняются.

Следующим шагом здесь является рассмотрение того, что произойдет, если мы просто проигнорируем указанные условия отказа, или, другими словами, для дальнейшего обобщения GTS. В том же тексте, в котором представлено определение GTS, объясняется, что это определение связано с топологиями Гротендика, но здесь мы наткнулись на загвоздку; в то время как определение GTS объяснялось простым теоретико-множественным языком, топология Гротендика, насколько я могу судить, является концепцией, глубоко уходящей корнями в теорию категорий, язык которой я все еще далек от понимания. Тем не менее, можно перемещаться по ncatlab и достигать определения Site, здесь , которое представляет собой категорию вместе с Coverage, что-то определенное здесь . Насколько я понимаю, покрытие является наиболее общим определением в этом контексте и что топологии Гротендика (пред) можно получить, наложив дополнительные условия на покрытие (я не уверен, где именно GTS подходит для всего этого, но я считаю, что сайты действительно обобщение ГТС).

Фактический вопрос, который я задаю здесь, разбивается на несколько частей:

  1. Правильно ли я насчет того, что такое сайт? То есть, если мы «декатегоризуем» определение сайта (и, конечно, покрытия тоже), получим ли мы что-то вроде определения GTS, за исключением меньшего количества условий?
  2. Если да, то тройка $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$сформировать сайт? То есть$Cov_{RE}$ действительно покрытие для $\mathbb{N}$? Например, является ли он «стабильным при откате» (что бы это ни значило!)?
  3. Если это так, то какие дополнительные «условия насыщения» (см. Здесь )$Cov_{RE}$удовлетворить? Думаю, этого недостаточно для правильной топологии Гротендика, но может быть достаточно для претопологии?

[1] - Незначительное злоупотребление языком имеет место, когда говорится, что "$C$ рекурсивно перечислимо "(можно было бы ожидать $C\in RE$ только из этого предложения, но на самом деле $C\in 2^{RE}$в данном конкретном случае); для тех, кому это не нравится, эквивалентный способ определить$Cov_{RE}$составляет. Сначала исправим$\phi : \mathbb{N} \rightarrow RE$, вычислимое перечисление самого RE. потом$Cov_{RE}$ является $\{C \in 2^{RE} \mid \exists S \in RE , \forall s \in RE, s \in C \leftrightarrow \exists n\in S, s = \phi(n) \}$, то есть коллекция $C$ элементов RE принадлежит $Cov_{RE}$ если и только там существует $S\in RE$ так что можно отобразить $\phi$ над $S$ и получить $C$ в результате.

[2] - Обратите внимание, что «аксиома насыщения» здесь является специфической для GTS, определения, связанные с теорией категорий, далее в этом вопросе, имеют свои собственные, множественные условия насыщения.

Ответы

1 DoctorWho Aug 17 2020 at 07:29

Предположим, мы имеем дело с произвольным частично упорядоченным множеством $(P, \leq)$. В частном случае топологических пространств$P$ это некоторый набор подмножеств $X$, нижележащее пространство. Мы можем рассмотреть$P$ в качестве категории каноническим образом следующим образом: множество объектов $P$, между каждым $x, y \in P$, а между $x$ и $y$ если только $x \leq y$.

Сито на объекте $x$ можно определить как коллекцию $S \subseteq \{(f, z) | f : z \to x\}$ которое удовлетворяет свойству, что для каждого $(f, z) \in S$ и каждый $g : w \to z$, у нас есть $(f \circ g, w) \in S$.

Когда мы говорим о частично упорядоченном множестве, первый компонент $(f, z)$ где $f : z \to x$ не добавляет никакой информации (кроме того, что $z \leq x$), поскольку существует не более одного $f : z \to x$. Таким образом, мы можем эквивалентно рассматривать решето$S$ на $x$ быть коллекцией $S \subseteq \{z \in P : z \leq x\}$ ул для всех $z \in S$, для всех $w \leq z$, $w \in S$. Это то, что я буду называть ПО-ситом.

Учитывая сито $S$ на $y$ и стрелка $f : x \to y$, мы можем определить $f^*(S) = \{(g, z)| g : z \to x$ и $f \circ g \in S\}$, сито на $y$.

Соответственно, учитывая ПО-сито $S$ на $y$ и немного $x \leq y$, мы можем определить $S_x = \{z : z \leq x$ и $z \in S\}$, сито на $x$.

Топология Гротендика на категории $C$ отображение каждого объекта $x \in C$ семье $F_x$ сит на $x$ которое удовлетворяет нескольким аксиомам.

Соответственно топология ПО-Гротендика на помножестве $P$ должно быть отображение каждого элемента $x \in P$ семье $F_x$ ПО-сит, удовлетворяющее соответствующим аксиомам.

Аксиома 1 топологии Гротендика: для каждого $x \in C$, у нас есть $\{(f, z) : f : z \to x\} \in F_x$.

Соответствующая Аксиома 1 топологии ПО-Гротендика: для каждого $x \in P$, у нас есть $\{z : z \leq x\} \in F_x$.

Аксиома 2 топологии Гротендика: для каждого $f : x \to y$, на каждое сито $S \in F_y$, у нас есть $f^*(S) \in F_x$.

Соответствующая Аксиома 2 топологии ПО-Гротендика: для каждого $x \leq y$ и на каждое ПО-сито $S \in F_y$, у нас есть $S_x \in F_x$.

Аксиома 3 топологии Гротендика: предположим, что у нас есть $S \in F_x$. И предположим, у нас есть сито$P$ на $x$ такой, что для всех $(f, z) \in S$, $f^*(P) \in F_z$. потом$P \in F_x$.

Соответствующая аксиома 3 топологии ПО-Гротендика: предположим, что у нас есть $S \in F_x$. Предположим, у нас есть ПО-сито$P$ на $x$ ул для всех $z \in S$, $P_z \in F_z$. потом$P \in F_x$.

Как это относится к обобщенным топологическим пространствам? Предположим, что дано такое обобщенное пространство. Частично упорядоченный набор$P$ набор открытий, упорядоченных $\subseteq$. Предположим, что дана некоторая коллекция$C$открытых наборов. Определить$f(C) = \{U $ открыто$: \exists V \in C (U \subseteq V)\}$. Обратите внимание, что для каждого такого$C$, $f(C)$ПО-сито. Тогда учитывая$U$ открыто, мы можем определить $F_U = \{f(C) : C \in cov_X$ и $\bigcup\limits_{V \in C} V = U\}$.

Убедимся, что это дает нам топологию ПО-Гротендика.

Аксиома 1: это следует из того, что $\{U\} \in cov_X$ для всех $U$ - то есть следует из аксиомы A3.

Аксиома 2: это следует из аксиомы A5.

Аксиома 3: это следует из аксиомы A6.

Наконец, обратимся к вашему примеру $\mathbb{N}$с «открывающими» рекурсивно перечислимыми множествами и «покрывающими» рекурсивными перечислениями рекурсивно перечислимых множеств. Поскольку это удовлетворяет аксиомам A3, A5 и A6, это действительно формирует топологию PO-Гротендика.