Характеризация автоморфных дискретных спектров

Question

Недавно я узнал об автоморфном спектральном разложении из книги Мёглина и Вальдспургера «Спектральное разложение и ряды Эйзенштейна». (Позвольте мне называть это MW)

У меня вопрос о характеризации дискретных спектров.

Позвольте мне объяснить основные обозначения, как в MW.

Позволять $G$ связная редуктивная группа над алгебраическим полем $k$ а также $\xi$ быть унитарным персонажем $Z_G(A)$.

Позволять $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ быть $L^2$-функции на $G(k)\setminus G(A)$ с центральным персонажем $\xi$.

Потом, $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ распадается в пространство, порожденное повторными вычетами ряда Эйзенштейна и его дополнением, которое описывается прямыми интегралами ряда Эйзенштейна. (MW, IV 2.1)

Позвольте мне назвать первое пространство $L^2_d$.

(Я думаю что $L^2_d$ это закрытие промежутка $L^2$ автоморфные формы в $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$.)

Позвольте мне называть полупростую часть, т.е. прямую сумму Гильберта топологически неприводимых подпредставлений $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$, по имени $L^2_{ss}$.

Определение дискретного спектра, непрерывных и основных свойств

В статье выше он называется дискретным спектром.

Мои вопросы

1. Находятся $L^2_d$ а также $L^2_{ss}$ тоже самое?
2. Если да, то как это доказать? Можем ли мы доказать это с помощью элементарного функционального анализа (например, знания книги «Функциональный анализ» Вальтера Рудина), как доказательство теоремы Гельфанда-Граева-Патецкого-Шапиро, т.е. как в каспидальном случае?

Я думаю, что очевидно, что $L^2_d$ содержит $L^2_{ss}$, но мне интересно, верно ли обратное. Буду признателен за любые подсказки для решения этого вопроса. Спасибо!

Отредактировано: я добавил еще один вопрос и определение $L^2_{ss}$в соответствии с комментариями. Спасибо за комментарии!

Answer 1

Верно допустимостью $L^2_{d}$.

претензия 1. $L^2_{d}$ допустимо.

Схема доказательства
Если K-тип фиксирован, существуют конечные возможности инфинитезимальных характеров автоморфных форм с K-типом и в$L^2_{d}$, по теореме допустимости Хариш-Чандры для каспидальных представлений и конструкций вычетов рядов Эйзенштейна (см. MW V3.3, V3.13, Corvallis 4.3).
Итак, снова по теореме допустимости Хариш-Чандры, пространство$L^2_{d}$ допустимо.

п.2 Допустимые унитарные представления группы G ($\mathbb{A}$) полупросты.

Эскиз доказательства
достаточно показать , что каждые ненулевой допустимые унитарные представления имеют неприводимое подпредставление. (Тогда по лемме Цорны.)
Пусть$\pi$- ненулевое допустимое унитарное представление. Тогда существует конечный набор K-типов$\mathcal{F}$ такой, что $\mathcal{F}$-типовая часть $\pi$, сказать $\pi_\mathcal{F}$отличен от нуля.
Позволять$e_\mathcal{F}$ - соответствующий идемпотент в алгебре Гекке группы G, $\mathcal{H}(G)$, и разреши $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ быть $e_\mathcal{F} \ast \mathcal{H}(G) \ast e_\mathcal{F}$. (см. Корваллиз P183, статья Flath и Глава I из Кнапп-Вогана.)
Тогда$\pi_\mathcal{F}$ имеет неприводимое подпредставление, $\rho_\mathcal{F}$ из $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ и порождает G ($\mathbb{A}$) -подпространство $\rho$.
Мы утверждаем, что$\rho$неприводимо.
Иначе,$\rho$ разлагает прямую сумму двух собственных замкнутых подпространств $\rho_{1}$ а также $\rho_{2}$.
Проектирование на$\rho_\mathcal{F}$, любой из $(\rho_i) _\mathcal{F}$отличен от нуля. По несводимости$\rho_\mathcal{F}$, любой из $(\rho_i)$ равно $\rho$и противоречие. (Чтобы завершить это доказательство, мы должны использовать некоторый функциональный анализ, например, см. 1.6.6 реальных редуктивных групп Валлаха.)