Хорошо ли определено интегрирование на многочленах в круге?

Aug 19 2020

Я хочу посмотреть, есть ли четкая карта $$\int_0^\theta\text{d}\theta:\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}\rightarrow\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}.$$Я начинаю изучать алгебраическую геометрию, и это меня озадачивает. Это связано с другим постом Полярные координаты для многочленов на окружности .

Я пробовал перейти в полярные координаты, но нет простого выражения для интеграла вида $$\int_0^\theta \text{d}\theta\,\cos(\theta)^n\sin(\theta)^m.$$ С другой стороны, в комплексных координатах $$\int_\mathcal{C}\text{d}z\,z^n\bar{z}^m=\begin{cases}i r^{n+m}\theta, & 1+n-m=0\\ \frac{z^{n+1/2}\bar{z}^{m-1/2}-(z\bar{z})^{(n+m)/2}}{1+n+m},&\text{otherwise.}\end{cases}$$ Здесь $\mathcal{C}$ дуга в круге радиуса $r$ между $0$ а также $\theta$. Таким образом, в$\mathbb{C}[z,\bar{z}]$это даже не кажется четко определенным. Например, в случае$1+n-m=0$ он даже не дает функции.

Ответы

IvánMauricioBurbano Aug 19 2020 at 05:01

По крайней мере, он индуцирует корректно определенный оператор на некоторых полиномах. Дело в том, что я неправильно выполнил вычисления в полярных координатах. Соответствующее вычисление$$\int_0^\theta\text{d}\theta\,z^n\bar{z}^m=\frac{z^n\bar{z}^m}{i(n-m)}\in\mathbb{C}[z,\bar{z}],$$ так долго как $n\neq m$. Поскольку взятие действительной части комплексного числа является линейным и каждый действительный многочлен может быть получен путем взятия действительной части комплексного числа, это доказывает то, что нам нужно. Проблема$n\neq m$ в приведенном выше вычислении решено, потому что на окружности многочлены $z^n\bar{z}^n$ находятся в том же классе эквивалентности, что и $1$.