Интерпретация и единицы элемента ковариации в портфельном риске
Данный портфельный риск составляет $\mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}$ где $\boldsymbol{\Sigma}$ ковариационная матрица, диагональные элементы которой $\sigma^2_{n}$ - дисперсии доходности отдельных активов, недиагональные элементы которых представляют собой попарные ковариации активов, $\sigma_{n,\neg n}$
какова интерпретация элемента $\sigma_{1,2}$ в $\boldsymbol{\Sigma}$, а как бы вы описали его подразделения?
Если $\sigma_{1,2}=0.1$ было бы правильно сказать следующее?
"движение доходности актива 1 в среднем зависит от движения доходности актива 2 на 10% стандартных отклонений и наоборот"
Ответы
Проблема интерпретации и единиц измерения, то есть отсутствие легко интуитивного ответа, именно поэтому кванты / эконометристы и т. Д., Как правило, избегают слишком много говорить о ковариациях [даже если они абсолютно необходимы; и часто используется]. Таким образом, если что-либо, связанное с ковариациями, должно интерпретироваться, не говоря уже о объяснении, по умолчанию обычно выражается в терминах корреляции, которая имеет интуитивно понятные единицы: ограниченный [-1,1] с 0 = независимость и т. Д.
Cor (1,2) = Cov (1,2) / (sd (1) * sd (2))
Cov (1,2) = Cor (1,2) * sd (1) * sd (2)
Таким образом, «единицы» здесь - это смесь продуктов из трех мер, каждая со своими собственными единицами: две волатильности и ограниченная мера ассоциации. Как таковые, они существуют, но не имеют интуитивного объяснения.
Самое близкое, что можно сделать, - это выразить ковариацию как предельное изменение дисперсии портфеля на единицу изменения произведения весов 1 и 2. Что, если вежливо, остается в высшей степени неэлегантным ;-)
Напомним также, что традиционная бета-версия OLS может быть выражена как:
Бета (1 | 2) = Cov (1,2) / Var (2) = E (d1) / d2
E (d1) = Cov (1,2) * d2 / Var (2)
Таким образом, изменение +1 в Активе2 имеет +0,1, деленное на его дисперсию, на Актив1. Это то же самое, что сказать, что движение +1 сигма в Активе 2 имеет 0,1, деленное на его стандартное отклонение в Активе 1. Это то же самое, что сказать (где Z = 1 - шок 1 сигма):
d1 / d2 = Cov (1,2) / Var (2)
d1 / z2 = Cov (1,2) / SD (2)
z1 / z2 = Cov (1,2) / (SD (1) * SD (2)) = Cor (1,2)!
Таким образом, интуитивным способом сделать такое утверждение, которое вы пытаетесь сделать выше, остается перевод ваших ковариаций в (интуитивные) безразмерные корреляции. Один сигма-ход в 1 или 2 будет иметь предельный сигма-эффект Cor (1,2) для другого.
Как бы вы ни подходили к этому, вам всегда нужно обрабатывать ковариацию с помощью дополнительной метрики (с ее собственными единицами, будь то абсолютная доходность, доходность с поправкой на объем или веса), чтобы получить здесь любой интуитивно понятный объяснительный результат. Традиционная формулировка w.Cov.w эффективна для прогнозирования риска портфеля; но когда дело доходит до интерпретации и объяснения, он терпит неудачу. Вот почему публикации неизбежно показывают предпочтение ассоциированным корреляционным матрицам. Оба всегда будут давать одинаковые результаты / прогнозы; с выбором между двумя, в конечном счете, вопросом предсказания или интерпретации (то есть презентационной природы).
Итак, давайте предположим, что портфель полностью состоит из консолей или однопериодных дисконтных облигаций. Это было бы сомнительно для акций, потому что$$_iR_t=\frac{_ip_{t+1}}{_ip_t}\times\frac{_iq_{t+1}}{_iq_t}-1$$ а также $$_jR_t=\frac{_jp_{t+1}}{_jp_t}\times\frac{_jq_{t+1}}{_jq_t}-1$$если игнорировать эффект дивидендов. Это делает возврат продукта распределением двух распределений отношения. Такие модели, как CAPM, избегают этой проблемы, предполагая, что все параметры известны и никто не делает никаких оценок. При умеренных предположениях у этих доходностей не будет определенной ковариационной матрицы даже в логическом пространстве.
Однако, что касается вашего вопроса, важно помнить, что такие параметры, как $\{\mu_i,\mu_j,\sigma_{i,j},\sigma_{i,i},\sigma_{j,j}\}$считаются фиксированными точками в теории частотности. Такие модели, как CAPM, не работают в байесовском пространстве, потому что параметры являются случайными величинами.
Итак, отвечая на ваш вопрос, единицы измерения $\sigma_{i,j}$находятся в направленно подписанных квадратных доходах избытка / дефицита от совместного ожидания. Это можно рассматривать как область с направлением.
Обычная интерпретация всегда масштабируется по дисперсии, отмечая, что $\beta_{i,j}=\frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_{i,i}}.$
@develarist: Я еще кое-что читал, и это примерно так. (не говоря об этом в отношении CAPM и не комментируя ваше текущее обсуждение с Дэйвом). Предположим, у вас есть$\sigma_{(1,2)}$ который обозначает ковариацию (доходности) акции 1 и акции 2. Обозначим $x$ как возврат (в примере) акции 1 и $y$ как возврат (в образце) запасов 2.
Первый шаг к интерпретации - это сделать $\sigma_{(1,2)}$ и разделите его на выборочную дисперсию доходности акций 1. Назовите это $\beta_{(1,2)}$. Затем, как только вы это сделаете,$\beta_{(1,2)}$ можно интерпретировать как коэффициент (а не точку пересечения другого) простой регрессии доходности акции 1 по сравнению с доходностью акции_2, где доходность акции 2 является ответом ($y$), а доходность акции 1 является предиктором ($x$).
Дело в том, что $\sigma_{(1,2)}$0,1 на самом деле мало что значит, потому что его нужно разделить на выборочную дисперсию доходности акции 1, чтобы описывалась регрессионная интерпретация. Конечно, если выборочная дисперсия доходности акции 1 оказалась равной 1,0, то можно было бы интерпретировать ковариацию как оценочную величину, на которую увеличивается доходность акции 2 для каждой единицы увеличения доходности акции 1.
Обратите внимание, что кажущееся противоречие, о котором я упоминал в своем исходном посте (которое сбило меня с толку), не существует, потому что если мы перевернем регрессию и сделаем доходность акции 1 (x) ответом, а доходность акции 2 (y) предиктором, тогда потребуется разделить ковариацию, $\sigma_{(1,2)}$по выборочной дисперсии доходности акции 2 (y), а не по выборочной дисперсии доходности акции 1 (x). Итак, в определении нет противоречия. Надеюсь, это проясняет ситуацию.
О, также, насколько я могу судить, также, похоже, не существует какой-либо связи между ковариацией и R ^ 2 регрессии, о которой я ошибочно думал. Мои извинения за путаницу.