Интерпретация некой общей теоремы, использованной Гауссом в его работе по тета-функциям.
Я пытаюсь понять смысл общего предложения, сформулированного Гауссом в послесловной статье (эта статья находится на стр. 470-481 тома 3 Werke Гаусса) о тета-функциях, предположении, которое, кажется, служит руководством и принцип организации огромного количества отношений между тета-функциями, которые он обнаружил.
Обозначения и определения Гаусса
Обозначим через $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ следующие функции:
$$P(x,y)=1+x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})+x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$Q(x,y)= 1-x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})-x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$R(x,y)=x^{\frac{1}{4}}(y^{\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{2}})+x^{\frac{9}{4}}(y^{\frac{3}{2}}+y^{-\frac{3}{2}})+x^{\frac{25}{4}}(y^{\frac{5}{2}}+y^{-\frac{5}{2}})+...$$
Эти функции включают тэта-функции Якоби в их обычном понимании как частные случаи; если$y$ комплексное число, абсолютное значение которого $1$, и $z$ определяется как действительное число такое, что $y = e^{2iz}$, то имеем:
$$P(x,y)=1+2cos(2z)x+2cos(4z)x^4+2cos(6z)x^9+...=\vartheta_3(z,x)$$
что следует из тождества $cos(2nz)= \frac{e^{2inz}+e^{-2inz}}{2}$. В частности, мы имеем:
$$P(x,1)=1+2x+2x^4+2x^9+...=\vartheta_3(0,x)$$, Так что можно понять $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ как обобщение тета-функции Якоби $\vartheta(z,x)$ из чисто реального $z$ в комплекс $z$ (ненулевая мнимая часть z), так что $|y| \ne 1$.
Замечание: Я не очень хорошо знаком с публикациями Якоби, поэтому вполне возможно, что первоначальное определение Якоби его тета-функций включает также случай, когда$z$ является комплексным, поэтому функции Гаусса $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ представляют собой не что иное, как просто тэта-функции Якоби с разными обозначениями.
Теорема Гаусса
6 августа 1827 года Гаусс сформулировал следующую «общую теорему»:
$$P(x,ty)\cdot P(x,\frac{y}{t}) = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2) $$
а затем выводит из него множество отношений.
Для получения более подробной информации по этому вопросу, пожалуйста, посмотрите ответ на сообщение HSM stackexchange. https://hsm.stackexchange.com/questions/6256/did-gauss-know-jacobis-four-squares-theorem.
Поэтому я хотел бы знать, как интерпретировать общую теорему, сформулированную Гауссом.
Ответы
Определение тета-функций Гаусса можно записать как
$$ P(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}y^n,\;\; R(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac12} x^{n^2}y^n. \tag{1} $$
Теперь рассмотрим произведение двух тета-функций.
$$ S := P(x,ty)\cdot P(x,y/t) = \left(\sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}(ty)^n\right) \! \left(\sum_{m\in\mathbb{Z}} x^{m^2}(y/t)^m\right). \tag{2} $$
Это можно переписать как двойную сумму
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{n^2+m^2} y^{n+m}t^{n-m}. \tag{3} $$
Перепишите это, используя новые переменные
$$ j = \frac{n+m}2,\;\; k = \frac{n-m}2 \;\; \text{ where } \;\; n = j+k,\;\; m = j-k \tag{4} $$
получить
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{2(j^2+k^2)} y^{2j}t^{2k}. \tag{5} $$
Двойная сумма $\,S\,$распадается на два случая. Один$\,S_0\,$ где $\,n,m\,$ иметь такой же паритет с $\,j,k\in\mathbb{Z}.\,$ Другой $\,S_1\,$ где $\,n,m\,$ иметь различный паритет с $\,j,k\in\mathbb{Z}+\frac12.\,$ Перепишите суммы как произведения
$$ S_0 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) \tag{6} $$
и
$$ S_1 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}+\frac12} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{7} $$
Конечный результат
$$ S = S_0+S_1 = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{8} $$
Я думаю, что это похоже на первоначальное доказательство Гаусса, но у меня нет возможности узнать об этом. Этот подход должен быть очень старым.
Воспользуемся переменными $q, z$ с участием $q=x, y=e^{2iz}$ так что $$P(x, y) =\vartheta_3(z,q),Q(x,y)=\vartheta_4(z,q),R(x,y)=\vartheta_2(z,q)$$ и теперь мы можем записать общую теорему Гаусса в виде $$\vartheta_3(z+w,q)\vartheta_3(z-w,q)=\vartheta_3(2z,q^2)\vartheta_3(2w,q^2)+\vartheta_2(2z,q^2)\vartheta_2(2w,q^2)$$ (с участием $t=e^{2iw}$) как тождество тета-функций Якоби.
Это одно из самых фундаментальных тождеств между тета-функциями, и с его помощью можно вывести почти все алгебраические отношения между тета-функциями. Вы можете посмотреть эту статью на arXiv, чтобы узнать о некоторых тождествах, полученных с помощью этой общей теоремы Гаусса.
Доказательство того же можно дать, рассмотрев соотношение левой и правой частей и показывая, что это двоякопериодическая функция без полюсов. А значит, это константа. Требуются некоторые усилия, чтобы показать, что постоянная$1$ но может быть показано с некоторыми алгебраическими манипуляциями на рядах, соответствующих этим функциям с $z=0,w=0$.
На данный момент у меня нет прямого алгебраического доказательства указанного выше тождества, и мне нужно будет проверить Jacobi Fundamenta Nova, чтобы узнать, предоставил ли Якоби какое-либо такое доказательство. Также, как вы отметили в своем вопросе, функции Якоби Тета определены для всех сложных$z, q$ с участием $|q|<1$.