Изоморфизм нормального функционала на алгебре фон Неймана
Вопрос возник из книги Педерсена «C * -алгебры и их группы автоморфизмов» (P55 Def. 3.6.5).
Если $M$ является алгеброй фон Неймана в $B(H)$, пусть $T(H)$ обозначим элементы в $B(H)$ класса трассировки и множество $N=\{x\in T(H)|~ Tr(ux)=0, \forall u\in M \}$. Докажите:$T(H)/N\cong M_*$ (изометрический изоморфизм), $M_*$ обозначает весь нормальный функционал на $M$.
Доказательство. Из теоремы 3.6.4 книги Педерсена мы можем установить естественное отображение из$T(H)/N$ к $M_*$ по $$T(H)/N\longrightarrow M_*$$ $$x+N\longmapsto \phi$$ где $x$ - оператор класса трассировки такой, что $\phi(y)=Tr(xy)$ за $y\in M$. Легко видеть, что это линейное отображение биективно. И я могу проверить$||x+N||_1\leq||\phi||$ по определению $||.||_1$ и полярное разложение $M$. Однако как доказать$||x+N||_1\geq||\phi||$? (Здесь$||.||_1:=Tr(|.|)$).
Ответы
Во-первых, обратите внимание, что для $a\in B(H)$ и $b\in T(H)$, неравенство Гёльдера $$\tag1 |\operatorname{Tr}(ab)|\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). $$ Действительно, написание $b=v|b|$ полярное разложение, по Коши-Шварцу \begin{align} |\operatorname{Tr}(ab)|&=|\operatorname{Tr}(av|b|^{1/2}\,|b|^{1/2})| \leq\operatorname{Tr}(|b|^{1/2}v^*a^*av|b|^{1/2})^{1/2}\operatorname{Tr}(|b|)^{1/2}\\[0.3cm] &\leq\|v^*a^*av\|^{1/2}\,\operatorname{Tr}(|b|)=\|av\|\,\operatorname{Tr}(|b|)\\[0.3cm] &\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). \end{align}
Поскольку фактор-карта - это $*$-гомоморфизм, заданный $z\in N$ у нас есть $|x+z|=|x|+w$ для некоторых $w\in N$. Тогда если$\|y\|=1$ и $x=v|x|$ полярное разложение, $$ |\operatorname{Tr}(xy)|=\operatorname{Tr}(v^*|x|y)=\operatorname{Tr}((|x|+w)yv^*) =\operatorname{Tr}(|x+z|v^*y)\leq\|v^*y\|\,\operatorname{Tr}(|x+z|) \leq\operatorname{Tr}(|x+z|). $$ Как это можно сделать для любого $z\in N$, мы получили $$\|\phi\|=\sup\{|\operatorname{Tr}(xy)|:\ y\in M,\ \|y\|=1\}\leq\|x+N\|_1. $$