Как я могу определить этот набор?
Позволять $A_1,..., A_n$- семейство множеств множеств. Я хочу создать следующий набор:
Набор $B$ состоит из союзов всевозможных комбинаций элементов из любого набора.
Например: пусть $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$, $A_2 = \{\{3\}\}$ и $A_3 = \{\{4\}\}$. Тогда набор$B$ должно быть:
$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$
У меня вопрос, как я могу официально написать этот набор?
Мой подход был следующий:
Сначала давайте поместим все элементы, которые мы хотим объединить, в один набор: $\bigcup\limits_n A_n$
Тогда возьмем его набор мощности: $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
В этом наборе мощности у нас есть все комбинации, которые мы хотим:
Теперь мы можем определить $B$ в виде:
$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$
Мой вопрос: я слишком усложняю? Есть ли другой способ определить это множество?
Ответы
$\bigcup_nA_n$ представляет собой набор всех наборов, из которых вы можете рисовать элементы, поэтому $\bigcup\bigcup_nA_n$ представляет собой набор всех элементов, которые вы можете использовать для формирования членов $B$; в вашем примере
$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$
и
$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$
По-видимому, вам нужны только непустые подмножества $B$, так
$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$