Как я могу определить этот набор?

Aug 20 2020

Позволять $A_1,..., A_n$- семейство множеств множеств. Я хочу создать следующий набор:

Набор $B$ состоит из союзов всевозможных комбинаций элементов из любого набора.

Например: пусть $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$, $A_2 = \{\{3\}\}$ и $A_3 = \{\{4\}\}$. Тогда набор$B$ должно быть:

$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$

У меня вопрос, как я могу официально написать этот набор?

Мой подход был следующий:

  • Сначала давайте поместим все элементы, которые мы хотим объединить, в один набор: $\bigcup\limits_n A_n$

  • Тогда возьмем его набор мощности: $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
    В этом наборе мощности у нас есть все комбинации, которые мы хотим:

Теперь мы можем определить $B$ в виде:

$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$

Мой вопрос: я слишком усложняю? Есть ли другой способ определить это множество?

Ответы

1 BrianM.Scott Aug 20 2020 at 01:49

$\bigcup_nA_n$ представляет собой набор всех наборов, из которых вы можете рисовать элементы, поэтому $\bigcup\bigcup_nA_n$ представляет собой набор всех элементов, которые вы можете использовать для формирования членов $B$; в вашем примере

$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$

и

$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$

По-видимому, вам нужны только непустые подмножества $B$, так

$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$