Как показать это $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ ограничено сверху?
Я пытаюсь доказать, что последовательность, заданная рекурсивным отношением $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ сходится, $a_1 = 1$.
Мне удалось с помощью индукции доказать, что последовательность строго возрастает .
Я использую теорему, которая гласит, что
Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Следовательно, теперь я должен доказать, что существует верхняя оценка
Моя попытка
Я снова воспользуюсь индукцией.
- За $n = 1: a_1 = 5 < M\in\mathbb{R}$
- За $n = k: a_k < M\in\mathbb{R}$
- За $n = k+1: a_{k+1} = \sqrt{12+4a_k} = 2\sqrt{3+a_k} < M \iff a_k < \frac{M^2}{2} -3 < \frac{M^2}{2} < M^2 $
Я показал это $a_{k+1}$ меньше, чем $M^2$ тогда как на этапе индукции я заявил, что $a_{k+1}$ меньше чем $M$. Квадрат меня немного смущает, и я не уверен, действительно ли я доказал здесь ограниченность, поэтому я задаю этот вопрос
Ответы
Обратите внимание, что $a_{k+1}=2 \sqrt{3+a_{k}}<M \iff a_{k}<\frac{M^2}{4}-3$. Тогда ты мог бы сделать$M=\frac{M^2}{4}-3$ что действительно дает $M=6$ как решение.
Обычно к подобным проблемам подходят следующий подход.
Представьте, что вы уже доказали, что последовательность сходится ... так что $\lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb R$. Разве вам не интересно узнать, что$a$? Способ сделать это: в уравнении$a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}$ вы вычисляете пределы левой и правой части, когда $n\to\infty$. Вы получаете:
$$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+4a_n}=\sqrt{12+\lim_{n\to\infty}a_n}=\sqrt{12+4a}$$
так $a=\sqrt{12+4a}$ что подразумевает $a=6$.
Итак, вы доказали, что если $a_n$ сходится, он должен сходиться к $6$и никакого другого числа. Также вы знаете, что он сходится (поскольку вас бы не попросили доказать это, если бы это не было!), Поэтому, зная, что он монотонно увеличивается, вы сразу видите, что$a_n\lt 6$, приближаясь $6$ "снизу", а на самом деле $6=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}$.
Таким образом, может быть, стоит сейчас попытаться забыть все, что мы говорили до этого момента, и доказать, что$a_n\lt 6$, что сразу будет означать, что ваша последовательность монотонно возрастает и ограничена, а значит, сходится.
И действительно (доказательство по индукции), $a_1=5\lt 6$ и если $a_n\lt 6$, тогда $a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}\lt\sqrt{12+4\cdot 6}=6$.
Подсказка: докажите по индукции, что $a_n \leq 6$ для всех $n$.