Как правильно использовать функцию «Ковариация» для вычисления ковариации?
Примечание . Следующие вопросы взяты из 23-го вопроса вступительного экзамена по математике для выпускников китайских вузов 2005 г. (первый набор):
Предполагать $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ простая случайная выборка из совокупности $\mathrm{N}(0,1)$, а также $\bar{X}$ выборочное среднее ($\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$), $Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$, $i=1,2, \cdots, n $.
Теперь нам нужно решить следующие задачи:
(1) Дисперсия $D Y_{i}$ из $Y_{i}$,$i=1,2, \cdots, n $.
(2) ковариация $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$ из $Y_{1}$ а также $Y_{n}$.
Я использую n = 10
как частный случай для решения этой проблемы:
Y1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10,
Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y1]
Y10 = TransformedDistribution[x[10] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10,
Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y10]
Covariance[Y1, Y10]
Correlation[Y1, Y10]
Но приведенный выше код не может получить ковариацию Y1
и Y10
правильно (справочный ответ$-\frac{1}{10}$). Как я могу использовать функцию Covariance
для решения этой проблемы?
Ответы
Вы должны использовать нотацию, которая отделяет случайные величины от их распределений. Следующий код должен дать вам желаемые дисперсии и ковариации:
n = 10;
distY1Yn = TransformedDistribution[{x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n},
Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Covariance[distY1Yn]
(* {{9/10, -(1/10)}, {-(1/10), 9/10}} *)
Correlation[distY1Yn]
(* {{1, -(1/9)}, {-(1/9), 1}} *)
distY1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n,
Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distY1]
(* 9/10 *)
distYn = TransformedDistribution[x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n,
Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distYn]
(* 9/10 *)