Как правильно использовать функцию «Ковариация» для вычисления ковариации?

Aug 18 2020

Примечание . Следующие вопросы взяты из 23-го вопроса вступительного экзамена по математике для выпускников китайских вузов 2005 г. (первый набор):

Предполагать $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ простая случайная выборка из совокупности $\mathrm{N}(0,1)$, а также $\bar{X}$ выборочное среднее ($\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$), $Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$, $i=1,2, \cdots, n $.

Теперь нам нужно решить следующие задачи:

(1) Дисперсия $D Y_{i}$ из $Y_{i}$,$i=1,2, \cdots, n $.

(2) ковариация $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$ из $Y_{1}$ а также $Y_{n}$.

Я использую n = 10как частный случай для решения этой проблемы:

Y1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y1]
Y10 = TransformedDistribution[x[10] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y10]
Covariance[Y1, Y10]
Correlation[Y1, Y10]

Но приведенный выше код не может получить ковариацию Y1и Y10правильно (справочный ответ$-\frac{1}{10}$). Как я могу использовать функцию Covarianceдля решения этой проблемы?

Ответы

3 JimB Aug 18 2020 at 11:06

Вы должны использовать нотацию, которая отделяет случайные величины от их распределений. Следующий код должен дать вам желаемые дисперсии и ковариации:

n = 10; 
distY1Yn = TransformedDistribution[{x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n}, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Covariance[distY1Yn]
(* {{9/10, -(1/10)}, {-(1/10), 9/10}} *)
Correlation[distY1Yn]
(* {{1, -(1/9)}, {-(1/9), 1}} *)

distY1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distY1]
(* 9/10 *)

distYn = TransformedDistribution[x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distYn]
(* 9/10 *)