Как убедить себя (представить), что $\Bbb S^1$-действие на $\Bbb S^3$ фиксирует круг шара?
Как убедить себя (представить), что $\Bbb S^1$-действие на $\Bbb S^3$ фиксирует круг шара?
Благодаря этому комментарию Джейсона ДеВито легко увидеть, что действие$\Bbb S^1$ на $\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$ определяется $z*(w_1,w_2)=(zw_1,w_2)$ исправляет весь круг $\{(0,w):|w|=1\}\subset\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$. Но я не могу себе этого представить, потому что общая картина действия в моем сознании состоит в том, что круговое действие - это своего рода вращение, поэтому у него есть ось вращения, и вращение вокруг этой оси может фиксировать не более 2 точек. Возможно ли, что ось вращения не прямая?
Как я могу представить себе это действие геометрически? $z*(w_1,w_2)=(zw_1,\bar zw_2)$.
Изменить: мое понимание последнего действия таково: одна сторона$\Bbb S^3$ вращается по часовой стрелке, а другая сторона вращается против часовой стрелки (в плоскости, отличной от первого действия), и эти действия воздействуют на середину сферы, и она становится рыхлой и изгибается посередине. Как цилиндр, если мы вращаем границы его в разных направлениях, он становится изломом посередине как винт.
Ответы
Для меня то, как я думаю о вращениях, является следствием теоремы о максимальном торе для $\mathrm{SO}(n)$. А именно, учитывая любые$A\in \mathrm{SO}(n)$ (т. е. поворот $\mathbb{R}^n$ который исправляет $0$) есть некоторая основа $\mathbb{R}^n$ с тем свойством, что в этой основе, $A$ состоит из набора обычных $2$-мерные блоки вращения.
Точнее писать $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ для стандартной матрицы вращения против часовой стрелки всегда существует ортонормированный базис $\mathbb{R}^n$ в котором $A$ принимает блочно-диагональную форму $$A=\begin{cases} \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{n/2})\Big) & n \text{ even}\\ \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{(n-1)/2},1)\Big) & n \text{ odd}\end{cases}.$$
Это указывает на то, что вращения - это принципиально двумерные идеи, которые затем загружаются в более высокие измерения. Фактически, он дает рецепт построения всех вращений$\mathbb{R}^n$: Выберите любой $2$-самолет и немного повернуть. В ортогональном дополнении выберите любое$2$-самолет и повернуть его. В ортогональном дополнении этих двух$2$-самолеты, выбирайте любые $2$-самолет и вращать его и т.
Думать о $\mathbb{R}^3$ на мгновение вращение в $xy$-плоскость не меняет расстояние от точки в $xy$ самолет в любую точку $z$-ось. Фактически, поворот в$xy$ самолет не влияет на $z$ось. Приведенное выше разложение указывает на то, что эта идея распространяется на более высокие измерения. Например, в$\mathbb{R}^4$ (с координатами, скажем, $(x,y,z,t)$) поворот в $xy$ плоскость не меняет расстояние от точки в $xy$ самолет до точки в $zt$ самолет.
Вот почему, например, ваше действие на $\Bbb S^3$может вращать две вещи в противоположных направлениях. Это сложно представить, но поворот в$xy$-самолет не влияет на $zt$-самолет, поэтому никаких "скручиваний" $\Bbb S^3$ происходит в вашем действии.
С другой стороны, для действия вашего цилиндра обратите внимание, что ваше действие не является вращением $\mathbb{R}^3$ограничивается цилиндром, поэтому ничего из вышеперечисленного не применимо. Фактически, я бы не назвал ваше действие над цилиндром вращением. Это вращение каждого граничного компонента, но кто знает, что он находится между ними!
Нельзя было ожидать ротации в $\mathbb C^2 \approx \mathbb R^4$ иметь "ось вращения", которая представляет собой линию, то есть что-то реального размера $1$. С другой стороны, можно было бы ожидать, что «ось вращения» будет иметь реальную коразмерность$2$, что он делает: весь самолет $w_1=0$фиксированный. И когда вы пересекаете эту плоскость с$S^3$ вы получите фиксированный круг.
Если вы хотите визуализировать этот пример, это можно сделать, используя тот факт, что $S^3$ одноточечная компактификация $\mathbb R^3$, который я напишу как $S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}$. В этой модели можно визуализировать круг неподвижных точек как единичный круг в$x,y$-самолет: $$\{(x,y,0) \mid x^2 + y^2 = 1\} $$ За пределами этого круга неподвижных точек любая другая орбита действия представляет собой круг, и можно визуализировать эти круговые орбиты в $\mathbb R^3 \cup \{\infty\}$ с помощью $(r,\theta,z)$цилиндрические координаты, как показано ниже. Одна из круговых орбит$\text{$z$-axis} \cup \{\infty\}$. Тогда для каждого постоянного угла$\theta_0$, полуплоскость $\theta = \theta_0$ пробивает неподвижный круг в единственной точке $P(\theta_0)$ с координатами $(r,\theta,z)=(1,\theta_0,0)$граничным краем этой полуплоскости является $z$-ось, которая является орбитой, а остальная часть полуплоскости расслоена семейством круговых орбит, которые приближаются к этой единственной точке в одном направлении, становясь все меньше и меньше, и которые приближаются к $z$ось в обратном направлении становится все больше и больше (в гиперболической метрике $\frac{dr^2+dz^2}{r^2}$ на этой полуплоскости это концентрические окружности с центром в $P(\theta_0)$).