Какая эйлерова характеристика квадрата? (Путаница с теоремой Гаусса-Бонне)
Здесь старшеклассник пытается узнать об эйлеровой характеристике, гауссовой кривизне и связывающей их теореме Гаусса-Бонне.
Согласно теореме Гаусса-Бонне: полная кривизна $= 2 \pi \times$ характеристика Эйлера.
Вот мое замешательство. Квадрат (например, плоский лист бумаги) имеет гауссову кривизну, равную нулю. Но по формуле$\chi = V - E + F$, Я подсчитал, что эйлерова характеристика квадрата равна $1$.
Это потому, что вершины $V = 4$, края $E = 4$ и лица $F = 1$. Следовательно$\chi = 4 - 4 + 1\Rightarrow \chi = 1$.
Итак, я получаю уравнение $0 = 2\pi 1$, т.е. $0 = 2\pi$.
Где моя ошибка?
Ответы
Первая трудность состоит в том, что версия теоремы Гаусса-Бонне, которую вы, кажется, используете, предназначена для компактных двумерных многообразий без края. Сфера - это компактное двумерное многообразие без края. Край куба (шесть квадратов, склеенных по краям) - компактное двумерное многообразие без края. Квадрат (считается замкнутым, поскольку вы говорите, что вершины и ребра являются частью многообразия) - это компактное 2-многообразие с краем.
При описании многообразия обычно опускают «без границы». Один обычно включает «с границей». Состояние коллектора по умолчанию не имеет границ.
Существует версия Гаусса-Боннетта для компактных двумерных многообразий с краем. $$ \int_M K \,\mathrm{d}A + \int_{\partial M} k_g \,\mathrm{d}s = 2 \pi \chi(M) \text{,} $$где первый интеграл представляет собой гауссову кривизну по поверхности, а второй интеграл - геодезическую кривизну на границе.
Замкнутый квадрат гомеоморфен замкнутому кругу. Граница замкнутого диска - круг. Геодезическая кривизна окружности, граничащей с кругом, измеряет, насколько эта кривая сходится подобным образом к окружности (так же, как гауссова кривизна измеряет, насколько поверхность подобным образом закрывается до сферы). Конечно, круг замыкается точно так же, как и один круг, поэтому этот интеграл способствует$2\pi$ слева, когда вы изучаете замкнутый диск или замкнутый квадрат.
(Здесь есть тонкое. Легко объединить "внешнюю" кривизну, вызванную определенным вложением, с геодезической ("внутренней") кривизной. Мы можем встроить наш круг вдоль многих оборотов спирали, а затем за пределы спирали обратно туда, где мы началось. Это вложение имеет большую кривизну, но круг - это просто круг ...)
Менее серьезная трудность заключается в том, что квадрат выглядит плоским только тогда, когда вы вставляете его определенным образом. Вы можете свернуть квадрат в трубочку, которая не будет плоской. Вы даже можете согнуть эту трубку, чтобы свести концы с концами - опять же, не плоско.
Если к квадрату мы склеим верхний и нижний края вместе [*], а затем склеим два новых круга вместе, мы получим компактное 2-многообразие (без границы). Этот объект - тор . Благодаря склейкам все четыре вершины квадрата были склеены в одну вершину, а обе противоположные пары ребер квадрата склеены. В результате имеется одна вершина, два ребра и одна грань с нулевой эйлеровой характеристикой и нулевой полной кривизной.
Этот ноль - это то, что вы ожидали от плоского квадрата. Может показаться удивительным, что наше вложение должно демонстрировать всю «кривизну» тора, чтобы получить нулевую гауссову кривизну, но вся эта «кривизна» является внешней кривизной.
[*] Мы должны быть осторожны с тем, как мы делаем эту склейку. Для первой пары ребер нужно склеить так, чтобы получилось кольцо, а не лента Мебиуса . Для склейки окружностей, если склеить так же, как и первую склейку, получится тор. Если приклеить «наоборот», получится бутылка Клейна . Конечно, бутылка Клейна с постоянной кривизной плоская , поэтому она также имеет нулевую гауссову кривизну.
Достижение теоремы GB состоит в том, чтобы связать полную кривизну поверхности $S$ это ограничено некоторой кривой $c$ к (i) топологии $S$, и (ii) кривизна "вдоль $c$". Для замкнутой поверхности, не имеющей границ," кривизна по $c$"член оказывается равным нулю. Таким образом, мы получаем соотношение между общей кривизной $S$ и топология $S$ --- то, что вы называете теоремой ГБ.
Для поверхностей с границей вы должны включить кривизну вдоль границы, а если граница имеет «углы», вы должны также включить туда «кривизну». В итоге вы видите три вида кривизны:
Кривизна в «углах» границы, т. Е. 0-мерные предметы
Кривизна по дугам границы, т. Е. Одномерные предметы
Кривизна по внутренней части поверхности, т. Е. Двухмерная вещь
И своего рода сумма их в конечном итоге связана с тремя видами топологических объектов:
Счетчик 0-мерных вещей (вершин)
Счетчик одномерных вещей (ребер)
Счетчик двухмерных вещей (лиц)
обеспечивая интересную симметрию между двумя суммами.
Я не собираюсь выписывать формулу, потому что для ее правильного выполнения необходимо правильно настроить ориентацию , а для этой задачи мне лично нужна доска, а не текст. Но 0-мерный вклад в кривизну - это «внешние углы» в вершинах. И мой любимый пример «неси его в кармане, чтобы я запомнил» состоит из треугольника на поверхности земли:
Северный полюс $N$это одна вершина. От него проходит ребро через Гринвич, Великобритания, до точки$G$на экваторе. Другой простирается через Гватемалу (90 ° западной долготы) до точки$A$на экваторе. И дуга экватора под углом 90 градусов от$A$ к $G$завершает треугольник. Есть 3 вершины, 3 ребра, одна грань, поэтому$V-E+F = 1$. Это сторона топологии. С точки зрения геометрии, полная кривизна сферы равна$4\pi$, поэтому этот треугольник, который $1/8$ сферы, имеет полную кривизну $\frac12 \pi$. Каждое ребро треугольника является геодезической, поэтому у него нет кривизны по поверхности. И в каждой вершине внешний угол составляет 90 градусов, т.е.$\pi/2$, в общей сложности $3\pi/2$в вершинах. Добавляя кривизну поверхности и вычитая (нулевую) кривизну ребра, получаем$2\pi$, что действительно $2\pi (V - E + F)$, как и ожидалось.
Если вы сожмете этот треугольник, пока он не станет очень маленьким, скажем, поместится на листе бумаги, то кривизна поверхности упадет практически до нуля, и все три внешних угла будут равны $2\pi/3$, так что снова сумма $2\pi$.