Какая связь между первой теоремой HK и второй теоремой HK?
Первая теорема Хоэнберга-Кона (HK) : внешний потенциал$v(\vec{r})$ определяется с точностью до тривиальной аддитивной константы плотностью электронов в основном состоянии $\rho(\vec{r})$.
Из базовой квантовой механики мы знаем, что: $v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. В соответствии с первой теоремой HK мы можем далее знать, что$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. По сути, первая теорема HK доказывает взаимно однозначное соответствие между внешними потенциалами и плотностями основного состояния$\rho$ в многоэлектронных системах.
Вторая теорема HK : существует универсальный функционал плотности,$F_{HK}[\rho']$, такое, что для любого $N$-представимая плотность ($\textit{i.e.}$, любая плотность, возникающая из какой-либо волновой функции для $N$-электронная система) $\rho(\vec{r})$, что дает заданное количество электронов $N$, функционал энергии равен, $$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$ в котором $E_g$ - энергия основного состояния, и равенство выполняется, когда плотность $\rho'(\vec{r})$ - это, возможно, вырожденная плотность основного состояния $\rho_0'(\vec{r})$ для внешнего потенциала $v(\vec{r})$.
Из этих двух утверждений я не вижу никакой связи между двумя теоремами. Так какова связь между двумя теоремами? Если$F_{HK}(\rho')$является функционалом плотности основного состояния, я могу установить связь между двумя теоремами. Но плотность в$F_{HK}[\rho]$ не нужна плотность основного состояния.
- О первой теореме HK: http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
- О второй теореме HK: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub
Ответы
Используя ваши обозначения, определение универсального функционала выглядит следующим образом:
$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$
где $\hat{T}$ а также $\hat{W}$- операторы кинетического и электрон-электронного взаимодействия соответственно. Это определение возможно благодаря взаимно однозначному отображению между плотностями и соответствующими им волновыми функциями основного состояния (т. Е. Потому, что$\psi_0$ является функционалом $\rho$), и я считаю, что это именно то соединение, которое вы ищете.
Формальная связь заключается в том, что первая теорема используется при доказательстве второй. В самом деле, второе - это перевод принципа, что$E[\Psi']$ имеет минимум при правильной волновой функции основного состояния $\Psi$, используя взаимно однозначное соответствие $\rho \leftrightarrow \Psi$ известно из первой теоремы.
Вывод можно найти в оригинальной статье Кона и Хоэнберга (часть I-2.). Он довольно короткий и легко читаемый, так что на него стоит взглянуть.