Какие схемы являются делителями абелевого многообразия?
Позволять $X$ - гладкая проективная неприводимая схема над алгебраически замкнутым полем $k$. Я пытаюсь понять, когда существует абелева разновидность$A$ такой, что $X$ изоморфна простому делителю на $A$.
Конечно, есть и простые случаи. Если$X$ нульмерна, т.е. точка, то она изоморфна единице любой эллиптической кривой $E$ над $k$, следовательно, он является делителем $E$. Если$X$ из рода $1$, то если выбрать $k$-поинт, тогда $X$- эллиптическая кривая. потом$X$ изоморфна диагонали $\Delta\subset X\times X$, который является делителем. поскольку$X$ эллиптическая кривая, $X\times X$также является абелевой разновидностью. Если$X$ кривая рода $2$, то якобиан $X$ двумерно, и, следовательно, $X$ коразмерности один, поэтому вложение $X\rightarrow \text{Jac}(X)$ позволяет нам идентифицировать $X$ с делителем $\text{Jac}(X)$.
Однако эти простые случаи не дают мне представления об общем случае. Якобиан работает только для рода$2$case и т. д. Albanse Variety также не помогает, поскольку коразмерность может быть слишком большой. Существуют ли контрпримеры гладкой проективной неприводимой схемы над алгебраически замкнутым полем, не являющейся дивизором абелевого многообразия?
Ответы
Любая кривая рода больше двух, якобиан которой $J$просто, сделаю. Если бы это был дивизор на абелевой поверхности$S$, тогда будет сюрприз $J\to S$ с ядром положительной размерности, что противоречит простоте $J$. Этим свойством обладает большинство кривых рода больше двух; случайно выбранный пример$y^3 = x^4 - x$.
Очевидный класс контрпримеров - однолинейные многообразия. На самом деле абелевы многообразия не содержат рациональных кривых.
В более общем плане и по той же причине, если $X$ - любое алгебраическое многообразие, содержащее рациональную кривую (возможно, особую), то $X$ не является подмногообразием абелевого многообразия, в частности, не является там дивизором.
Вот еще один ответ, использующий Albanese, который имеет немного другой вкус. Позволять$X$ быть $n$-мерный и предположим, что $h^0(X,\Omega^1_X)<n$. Тогда любая карта$X\rightarrow A$ где $A$ является абелевым многообразием факторов через Альбанезе, размерность которого меньше, чем $n$, так $X$не может быть делителем ни на каком абелевом многообразии. В качестве примера вы можете взять любую односвязную разновидность. Конечно,$\mathbb{P}^1$ делает свое дело.
Я просто хочу отметить, что «присоединение + перевод» говорит нам довольно много:
Позволять $A$ быть абелевым многообразием, скажем размерности $n>1$ и разреши $D \subset A$быть (скажем, гладким) дивизором. поскольку$\omega_A = \mathcal{O}_A$, формула присоединения $$ \omega_D = \omega_A(D)|_D = \mathcal{O}(D)|_D, $$ нормальный набор $D$. Различая действие перевода$A$, мы можем получить отличные от 0 глобальные сечения $0 \neq \sigma \in H^0(D,\omega_D)$, в этом случае полномочия $\sigma^d$ шоу $H^0(D, \omega_D^d) \neq 0$ для всех $d>0$. Это показывает, что$D$ имеет неотрицательное измерение Кодаира: $\kappa(D) \geq 0$.
Реплика : известно, что$D$ uniruled $\implies$ $H^0(D, \omega_D^d)=0$ для всех $d > 0$ (и обратное - предположение), так что вышеизложенное более или менее является развитием наблюдения Полицци о том, что $D$ не может быть uniruled.