Какова средняя кривизна бесконечно длинного цилиндра?

Question

Может ли кто-нибудь помочь мне понять, как я могу вычислить среднюю кривизну бесконечно длинного цилиндра радиуса $R$? Я знаю определение средней кривизны как

$H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$

где $\kappa_i$ это $i$-я главная кривизна. Поскольку цилиндр бесконечно длинный, я думаю$\kappa_2 = 0$(по оси). Может кто это подтвердить?

Тогда средняя кривизна бесконечно длинного цилиндра радиуса $R$ было бы просто

$H = \frac{1}{2R}$

Спасибо за помощь!

Answer 1

Ваш результат правильный.

Укажите точку на цилиндрической поверхности. Вы должны убедить себя, что одно главное направление перпендикулярно оси цилиндра (но начинается с вашей точки на поверхности). В этом направлении поверхность выглядит как круг с радиусом$R$, поэтому главная кривизна для этого направления равна $\kappa_1=\frac1R$. Другое главное направление параллельно оси цилиндра, и в этом направлении поверхности выглядят (локально рядом с вашей точкой) как прямая линия, поэтому$\kappa_2=0$. Итак, из формулы$H=\frac12 (\kappa_1+\kappa_2)$ вы получите указанную вами среднюю кривизну.

Как говорит TonyK, это то же самое для любой точки, которую вы выбираете. Итак, если вы считаете$H$ как функция, сопоставляя каждую точку на поверхности с действительным числом, затем $H$ постоянна для цилиндрической поверхности.

Как мы видим, средняя кривизна - это локальное свойство, поэтому не имеет значения, бесконечно длинный цилиндр или нет; до тех пор, пока есть окрестности вокруг рассматриваемой точки, где поверхность представляет собой цилиндр, средняя кривизна в этой точке равна$\frac1{2R}$.