Концентрация нормы для субгауссианцев

Aug 19 2020

Я читаю теорему 3.1.1 из книги Вершинина HDP . Теорема утверждает, что

$ \text{Let } X=\left(X_1,\ldots,X_n \right) \text{be a random vector with independent, sub-gaussian coordinates } X_i \text{ that satisfy } \mathbb{E}X_i^2=1. \text{Then}$ $$ \| \| X\|_2-\sqrt{n}\|\|_{\psi_2} \leq CK^2$$ $ \text{where } K=\max_i{\|X_i\|_{\psi_2}} \text{ and } C \text{ is an absolute constant.}$

В $\psi_2$ norm - норма Орлича с функцией Орлича $\psi(x)=e^{x^2}-1. $

Я нашел место, которое не понимаю в доказательстве.

Все доказательство только показало, что $ \| X \|_2 -\sqrt{n} $- субгауссовская случайная величина. И в последнем предложении автор только что сказал, что это равносильно заключению теоремы.

Я хотел бы спросить об эквивалентности в последнем предложении.

Я попытался посмотреть на свойство центрирования субгауссовского, но кажется, что $\sqrt n \neq \mathbb{E}\|X\|_2 $. Любой намек или идея приветствуются.

Ответы

2 Lockjaw Aug 19 2020 at 01:28

Я прошел курс HDP, на котором была основана эта книга, и я думаю, что эти результаты тоже заняли у меня время! Есть несколько "круговых" рассуждений, которые вы должны делать, что не сразу (по крайней мере для меня) очевидно. Короче говоря, здесь есть две вещи:

  1. Во-первых, из доказательства имеем неравенство концентрации $$\mathbb{P}\left\{ \big| ||X||_2 - \sqrt{n} \big|\geq t\right\} \leq 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{K^4}\right) \\ = 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{(K^2)^2}\right)$$ что справедливо для всех $t \geq 0$. Как вы упомянули, это означает, что термин абсолютного значения является субгауссовым с параметром$K^2$. Из предложения 2.5.2 мы знаем, что существует эквивалент (с точностью до постоянного множителя)$K_1=c_1K^2$ такой, что $\mathbb{E}\exp\left(X^2/K_1^2\right) \leq 2$.
  2. Из определения нормы Орлича, $$\big|\big| ||X||_2 - \sqrt{n}\big|\big|_{\psi_2} $$который определяет норму как нижнюю грань или минимальное положительное$t$ с участием $\mathbb{E}\exp\left(X^2/t^2\right) \leq 2$. Из этого делаем вывод, что норма не должна быть больше$K_1$. Мы связаны$K_1$ к $K^2$ выше, и результат следует.